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数学3 定積分・面積問題 122 解説

方針・初手

(1) は被積分関数が代数関数と指数関数の積であるため、部分積分法を用いて計算し、等式を導く。

(2) は指定通り数学的帰納法を用いる。$n=k+1$ の式を導く際、$\int_0^x (x-t)^k e^t dt$ の積分において $(x-t)^k$ を積分側に回す部分積分を行うのがポイントとなる。

(3) は (2) で得られた等式を用いて、剰余項にあたる定積分が正であることを評価する。

解法1

(1)

与えられた定積分について、部分積分法を用いて計算する。

$$\int_0^x (x-t)e^t dt = \int_0^x (x-t)(e^t)' dt$$

$$= \left[ (x-t)e^t \right]_0^x - \int_0^x (x-t)' e^t dt$$

$$= \left( 0 \cdot e^x - x e^0 \right) - \int_0^x (-1) e^t dt$$

$$= -x + \int_0^x e^t dt$$

$$= -x + \left[ e^t \right]_0^x$$

$$= -x + e^x - e^0$$

$$= e^x - x - 1$$

したがって、

$$e^x - x - 1 = \int_0^x (x-t)e^t dt$$

これを移項すると、求める等式が得られる。

$$e^x = 1 + x + \int_0^x (x-t)e^t dt$$

(証明終)

(2)

証明すべき等式を(A)とする。

$$e^x = 1 + \sum_{p=1}^n \frac{1}{p!}x^p + \frac{1}{n!} \int_0^x (x-t)^n e^t dt \quad \cdots \text{(A)}$$

(i) $n=1$ のとき

(A)の右辺は次のようになる。

$$1 + \sum_{p=1}^1 \frac{1}{p!}x^p + \frac{1}{1!} \int_0^x (x-t)^1 e^t dt = 1 + x + \int_0^x (x-t)e^t dt$$

これは(1)の結果より $e^x$ に等しい。したがって、$n=1$ のとき(A)は成り立つ。

(ii) $n=k$ ($k$ は自然数) のとき、(A)が成り立つと仮定する。

$$e^x = 1 + \sum_{p=1}^k \frac{1}{p!}x^p + \frac{1}{k!} \int_0^x (x-t)^k e^t dt$$

この等式の右辺の定積分について、$(x-t)^k = \left\{ -\frac{1}{k+1}(x-t)^{k+1} \right\}'$ とみて部分積分法を用いる。

$$\int_0^x (x-t)^k e^t dt = \int_0^x \left\{ -\frac{1}{k+1}(x-t)^{k+1} \right\}' e^t dt$$

$$= \left[ -\frac{1}{k+1}(x-t)^{k+1} e^t \right]_0^x - \int_0^x \left\{ -\frac{1}{k+1}(x-t)^{k+1} \right\} (e^t)' dt$$

$$= \left\{ 0 - \left( -\frac{1}{k+1}x^{k+1} e^0 \right) \right\} + \frac{1}{k+1} \int_0^x (x-t)^{k+1} e^t dt$$

$$= \frac{1}{k+1}x^{k+1} + \frac{1}{k+1} \int_0^x (x-t)^{k+1} e^t dt$$

これを仮定した式に代入する。

$$\begin{aligned} e^x &= 1 + \sum_{p=1}^k \frac{1}{p!}x^p + \frac{1}{k!} \left\{ \frac{1}{k+1}x^{k+1} + \frac{1}{k+1} \int_0^x (x-t)^{k+1} e^t dt \right\} \\ &= 1 + \sum_{p=1}^k \frac{1}{p!}x^p + \frac{1}{(k+1)!}x^{k+1} + \frac{1}{(k+1)!} \int_0^x (x-t)^{k+1} e^t dt \\ &= 1 + \sum_{p=1}^{k+1} \frac{1}{p!}x^p + \frac{1}{(k+1)!} \int_0^x (x-t)^{k+1} e^t dt \end{aligned}$$

よって、$n=k+1$ のときも(A)は成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について等式は成り立つ。

(証明終)

(3)

(2)で証明した等式より、次が成り立つ。

$$e^x - \left( 1 + \sum_{p=1}^n \frac{1}{p!}x^p \right) = \frac{1}{n!} \int_0^x (x-t)^n e^t dt$$

$x > 0$ のとき、積分区間 $0 \leqq t \leqq x$ において $x-t \geqq 0$ であり、$e^t > 0$ である。

したがって、被積分関数 $(x-t)^n e^t$ は $0 \leqq t \leqq x$ において常に $0$ 以上であり、かつ恒等的に $0$ ではないため、その定積分は正となる。

$$\int_0^x (x-t)^n e^t dt > 0$$

$n! > 0$ であるから、

$$\frac{1}{n!} \int_0^x (x-t)^n e^t dt > 0$$

ゆえに、

$$e^x - \left( 1 + \sum_{p=1}^n \frac{1}{p!}x^p \right) > 0$$

すなわち

$$e^x > 1 + \sum_{p=1}^n \frac{1}{p!}x^p$$

が成り立つ。

(証明終)

解説

テイラー展開（マクローリン展開）における剰余項の積分表示を、数学的帰納法を通して導出する代表的な問題である。

(2)の帰納法のステップにおいて、定積分 $\int_0^x (x-t)^k e^t dt$ を部分積分する際、指数関数 $e^t$ ではなく、多項式 $(x-t)^k$ の方を積分側に回すことが最大のポイントである。これにより $(x-t)^{k+1}$ を作り出し、$n=k+1$ の式を組み立てることができる。

(3)は(2)で得られた関係式を用い、剰余項が正であることを示すことで不等式を証明する。被積分関数の符号に着目すれば、関数の増減などを調べることなく直ちに証明が完了する。