数学3 定積分・面積 問題 123 解説

方針・初手

積分区間の端点が $\alpha, \beta$ であり、被積分関数が $(x-\alpha)$ と $(x-\beta)$ の累乗の積で表されている定積分の計算問題である。$(x-\alpha)$ を積分して次数を上げ、$(x-\beta)$ の累乗を微分して次数を下げる部分積分法を用いると、(1)から(3)まで統一的な手順で示すことができる。また、(1)や(2)については被積分関数を $(x-\alpha)$ の多項式として展開してから積分する方法も有効である。

※なお、画像においては3つ目の等式の番号が「(1)」となっているが、文脈から明らかな誤植であるため、以下では「(3)」として扱う。

解法1

(1)

部分積分法を用いる。

$$\begin{aligned} \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx &= \int_{\alpha}^{\beta} \left\{ \frac{1}{2}(x-\alpha)^2 \right\}' (x-\beta) dx \\ &= \left[ \frac{1}{2}(x-\alpha)^2 (x-\beta) \right]_{\alpha}^{\beta} - \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2}(x-\alpha)^2 \cdot 1 dx \\ &= 0 - \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3}(x-\alpha)^3 \right]_{\alpha}^{\beta} \\ &= -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \end{aligned}$$

したがって、等式は成立する。

(2)

(1) と同様に部分積分法を用いる。

$$\begin{aligned} \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^n(x-\beta) dx &= \int_{\alpha}^{\beta} \left\{ \frac{1}{n+1}(x-\alpha)^{n+1} \right\}' (x-\beta) dx \\ &= \left[ \frac{1}{n+1}(x-\alpha)^{n+1} (x-\beta) \right]_{\alpha}^{\beta} - \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{n+1}(x-\alpha)^{n+1} \cdot 1 dx \\ &= 0 - \frac{1}{n+1} \left[ \frac{1}{n+2}(x-\alpha)^{n+2} \right]_{\alpha}^{\beta} \\ &= -\frac{1}{(n+1)(n+2)}(\beta-\alpha)^{n+2} \end{aligned}$$

ここで、係数の分母分子に $n!$ を掛けると、

$$-\frac{1}{(n+1)(n+2)} = -\frac{n!}{n!(n+1)(n+2)} = -\frac{n!}{(n+2)!}$$

となるから、

$$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^n(x-\beta) dx = -\frac{n!}{(n+2)!}(\beta-\alpha)^{n+2}$$

となり、等式は成立する。

(3)

求める定積分を $I_{n, m}$ とおく。

$$I_{n, m} = \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^n(x-\beta)^m dx$$

部分積分法を用いて漸化式を作る。

$$\begin{aligned} I_{n, m} &= \int_{\alpha}^{\beta} \left\{ \frac{(x-\alpha)^{n+1}}{n+1} \right\}' (x-\beta)^m dx \\ &= \left[ \frac{(x-\alpha)^{n+1}}{n+1} (x-\beta)^m \right]_{\alpha}^{\beta} - \int_{\alpha}^{\beta} \frac{(x-\alpha)^{n+1}}{n+1} \cdot m(x-\beta)^{m-1} dx \\ &= 0 - \frac{m}{n+1} \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^{n+1}(x-\beta)^{m-1} dx \\ &= -\frac{m}{n+1} I_{n+1, m-1} \end{aligned}$$

この漸化式を繰り返し用いることで、$I_{n, m}$ を計算する。

$$\begin{aligned} I_{n, m} &= \left( -\frac{m}{n+1} \right) I_{n+1, m-1} \\ &= \left( -\frac{m}{n+1} \right) \left( -\frac{m-1}{n+2} \right) I_{n+2, m-2} \\ &= \cdots \\ &= (-1)^m \frac{m(m-1)\cdots 1}{(n+1)(n+2)\cdots(n+m)} I_{n+m, 0} \end{aligned}$$

ここで、係数部分は階乗を用いて次のように表せる。

$$\frac{m(m-1)\cdots 1}{(n+1)(n+2)\cdots(n+m)} = \frac{m! n!}{(n+m)!}$$

また、$I_{n+m, 0}$ を計算する。

$$\begin{aligned} I_{n+m, 0} &= \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^{n+m} dx \\ &= \left[ \frac{(x-\alpha)^{n+m+1}}{n+m+1} \right]_{\alpha}^{\beta} \\ &= \frac{(\beta-\alpha)^{n+m+1}}{n+m+1} \end{aligned}$$

これらを $I_{n, m}$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} I_{n, m} &= (-1)^m \frac{n!m!}{(n+m)!} \cdot \frac{(\beta-\alpha)^{n+m+1}}{n+m+1} \\ &= (-1)^m \frac{n!m!}{(n+m+1)!} (\beta-\alpha)^{n+m+1} \end{aligned}$$

したがって、等式は成立する。

解法2

(1) と (2) については、被積分関数を変形して展開する方法も簡潔である。$(x-\beta) = (x-\alpha) - (\beta-\alpha)$ として展開する。

(1)

$$\begin{aligned} \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx &= \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha) \{(x-\alpha) - (\beta-\alpha)\} dx \\ &= \int_{\alpha}^{\beta} \{(x-\alpha)^2 - (\beta-\alpha)(x-\alpha)\} dx \\ &= \left[ \frac{1}{3}(x-\alpha)^3 - \frac{\beta-\alpha}{2}(x-\alpha)^2 \right]_{\alpha}^{\beta} \\ &= \frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3 - \frac{1}{2}(\beta-\alpha)^3 \\ &= -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \end{aligned}$$

したがって、等式は成立する。

(2)

(1)と同様に展開する。

$$\begin{aligned} \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^n(x-\beta) dx &= \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^n \{(x-\alpha) - (\beta-\alpha)\} dx \\ &= \int_{\alpha}^{\beta} \{(x-\alpha)^{n+1} - (\beta-\alpha)(x-\alpha)^n\} dx \\ &= \left[ \frac{1}{n+2}(x-\alpha)^{n+2} - \frac{\beta-\alpha}{n+1}(x-\alpha)^{n+1} \right]_{\alpha}^{\beta} \\ &= \frac{1}{n+2}(\beta-\alpha)^{n+2} - \frac{1}{n+1}(\beta-\alpha)^{n+2} \\ &= \frac{n+1-(n+2)}{(n+1)(n+2)}(\beta-\alpha)^{n+2} \\ &= -\frac{1}{(n+1)(n+2)}(\beta-\alpha)^{n+2} \end{aligned}$$

ここで、$-\frac{1}{(n+1)(n+2)} = -\frac{n!}{(n+2)!}$ であるから、

$$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^n(x-\beta) dx = -\frac{n!}{(n+2)!}(\beta-\alpha)^{n+2}$$

となり、等式は成立する。

解説

(1)の等式はいわゆる「$1/6$ 公式」と呼ばれるものであり、放物線と直線で囲まれた面積を求める際などに頻繁に用いられる重要な公式である。(3)の等式はその一般化であり、ベータ関数に関連する積分として知られている（「ベータ関数の積分公式」や「$1/6$ 公式の一般化」などと呼ばれる）。

部分積分を繰り返して漸化式を立てる手法は、大学入試数学における定積分の証明問題で非常に強力かつ典型的なアプローチである。解法2で示したような $x-\alpha$ のかたまりを作る展開手法も、積分の計算を簡略化するテクニックとして実戦的である。

答え

(1), (2), (3) ともに、示された途中式と論理により等式が成立することが証明された。