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数学3 定積分・面積問題 124 解説

方針・初手

(1) 点 $\text{P}$ における $C_1$ の接線の傾きが与えられているため、まずは点 $\text{P}$ の座標を確定する。円が $C_1$ と点 $\text{P}$ で接するということは、「点 $\text{P}$ において共通の接線を持つ」すなわち「点 $\text{P}$ における法線を共有する」ことである。円の中心 $\text{Q}$ はこの法線上にあり、かつ $x$ 軸と接することから、点 $\text{Q}$ の $y$ 座標が円の半径と一致する。これらを用いて $\text{Q}$ の座標を求める。

(2) 求める面積は、$y$ 軸、$x$ 軸、$C_1$、$C_2$ で囲まれた領域である。$x$ 軸方向の積分で面積を求めようとすると、円弧 $C_2$ が点 $\text{P}$ より左側に膨らんでいるため関数の取り扱いがやや面倒になる。$y$ 軸方向の積分（$y$ について積分）を行うか、あるいは図形の面積（台形と扇形）を利用して計算を工夫すると見通しが良い。

解法1

(1) $y = e^x$ より $y' = e^x$ である。点 $\text{P}$ の $x$ 座標を $p$ とおくと、点 $\text{P}$ は $(p, e^p)$ であり、点 $\text{P}$ における接線の傾きは $e^p$ となる。この接線が $x$ 軸と $\frac{\pi}{3}$ の角で交わり、傾きは正であるから、

$$e^p = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$$

$$p = \log \sqrt{3} = \frac{1}{2} \log 3$$

したがって、点 $\text{P}$ の座標は $\left( \frac{1}{2} \log 3, \sqrt{3} \right)$ である。

次に、点 $\text{P}$ における法線の方程式を求める。法線の傾きは $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ であるから、

$$y - \sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \left( x - \frac{1}{2} \log 3 \right)$$

円の中心 $\text{Q}$ は第1象限にあり、$x$ 軸と接するため、その座標を $(q, r)$ （$q > 0, r > 0$）とおくことができる。このとき、円の半径は $r$ であり、接点 $\text{R}$ の座標は $(q, 0)$ となる。円は点 $\text{P}$ で $C_1$ と接するため、中心 $\text{Q}$ は法線上にある。よって、

$$r - \sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \left( q - \frac{1}{2} \log 3 \right)$$

$$q = -\sqrt{3}(r - \sqrt{3}) + \frac{1}{2} \log 3 = -\sqrt{3}r + 3 + \frac{1}{2} \log 3$$

また、円は点 $\text{P}$ を通るため、$\text{QP}^2 = r^2$ が成り立つ。

$$\left( q - \frac{1}{2} \log 3 \right)^2 + (r - \sqrt{3})^2 = r^2$$

先ほどの関係式 $q - \frac{1}{2} \log 3 = -\sqrt{3}(r - \sqrt{3})$ を代入して、

$$3(r - \sqrt{3})^2 + (r - \sqrt{3})^2 = r^2$$

$$4(r - \sqrt{3})^2 = r^2$$

$$2|r - \sqrt{3}| = r$$

これを解くと、 $r \geqq \sqrt{3}$ のとき $2(r - \sqrt{3}) = r$ より $r = 2\sqrt{3}$ $r < \sqrt{3}$ のとき $-2(r - \sqrt{3}) = r$ より $3r = 2\sqrt{3}$ から $r = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

図より、円の中心 $\text{Q}$ は点 $\text{P}$ における接線の下側に位置し、点 $\text{P}$ の $y$ 座標 $\sqrt{3}$ よりも $y$ 座標が小さくなければならないため、$r < \sqrt{3}$ である。したがって、$r = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ となる。このとき、$q = -\sqrt{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{1}{2} \log 3 = 1 + \frac{1}{2} \log 3$ である。

以上より、点 $\text{Q}$ の座標は $\left( 1 + \frac{1}{2} \log 3, \frac{2\sqrt{3}}{3} \right)$ である。

(2) 求める面積を $S$ とする。領域は $y$ 軸、$x$ 軸、$C_1$（$y = e^x$）、および $C_2$ で囲まれた部分である。これを $y$ 軸方向に積分して求める。 $C_1$ より $x = \log y$ である。円の方程式は $(x - q)^2 + (y - r)^2 = r^2$ であり、$C_2$ の部分は $x \leqq q$ の範囲にあるため、

$$x = q - \sqrt{r^2 - (y - r)^2}$$

$y$ の範囲は $0 \leqq y \leqq \sqrt{3}$ であり、$0 \leqq y \leqq 1$ では $y$ 軸と $C_2$、$1 \leqq y \leqq \sqrt{3}$ では $C_1$ と $C_2$ に囲まれるため、

$$S = \int_0^{\sqrt{3}} \left( q - \sqrt{r^2 - (y - r)^2} \right) dy - \int_1^{\sqrt{3}} \log y \, dy$$

第1項の積分を考える。

$$\int_0^{\sqrt{3}} \left( q - \sqrt{r^2 - (y - r)^2} \right) dy = q\sqrt{3} - \int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{r^2 - (y - r)^2} dy$$

ここで、$y - r = r \sin \theta$ と置換する。$dy = r \cos \theta \, d\theta$ であり、積分区間は以下のようになる。 $y = 0$ のとき $\sin \theta = -1$ より $\theta = -\frac{\pi}{2}$。 $y = \sqrt{3}$ のとき $r \sin \theta = \sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ より $\sin \theta = \frac{1}{2}$。よって $\theta = \frac{\pi}{6}$。

$$\begin{aligned} \int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{r^2 - (y - r)^2} dy &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} r^2 \cos^2 \theta \, d\theta \\ &= \frac{r^2}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} (1 + \cos 2\theta) d\theta \\ &= \frac{r^2}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{9} \left\{ \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) - \left( -\frac{\pi}{2} + 0 \right) \right\} \\ &= \frac{2}{3} \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{4\pi}{9} + \frac{\sqrt{3}}{6} \end{aligned}$$

これより、第1項の積分値は

$$q\sqrt{3} - \left( \frac{4\pi}{9} + \frac{\sqrt{3}}{6} \right) = \sqrt{3} \left( 1 + \frac{1}{2} \log 3 \right) - \frac{4\pi}{9} - \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \log 3 - \frac{4\pi}{9}$$

次に、第2項の積分を求める。

$$\begin{aligned} \int_1^{\sqrt{3}} \log y \, dy &= \left[ y \log y - y \right]_1^{\sqrt{3}} \\ &= (\sqrt{3} \log \sqrt{3} - \sqrt{3}) - (-1) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \log 3 - \sqrt{3} + 1 \end{aligned}$$

したがって、求める面積 $S$ は

$$\begin{aligned} S &= \left( \frac{5\sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \log 3 - \frac{4\pi}{9} \right) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \log 3 - \sqrt{3} + 1 \right) \\ &= \frac{11\sqrt{3}}{6} - 1 - \frac{4\pi}{9} \end{aligned}$$

解法2

(2) 面積を $x$ 軸方向の積分と図形の面積を組み合わせて求める。点 $\text{P}$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $\text{H} \left( \frac{1}{2} \log 3, 0 \right)$ とし、$x = \frac{1}{2} \log 3$ を境界として領域を2つに分ける。

左側の領域の面積 $S_1$ は、

$$S_1 = \int_0^{\frac{1}{2} \log 3} e^x dx = \left[ e^x \right]_0^{\frac{1}{2} \log 3} = e^{\log \sqrt{3}} - 1 = \sqrt{3} - 1$$

右側の領域の面積 $S_2$ は、台形 $\text{PHRQ}$ から扇形 $\text{QPR}$ を引いた図形の面積として求めることができる（弧 $C_2$ が途中で点 $\text{P}$ より左側に膨らむが、有向面積として相殺されるため、結果的にこの図形的な引き算と一致する）。

台形 $\text{PHRQ}$ は上底 $\text{QR} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$、下底 $\text{PH} = \sqrt{3}$、高さ $\text{HR} = q - p = 1$ であるから、その面積は

$$\frac{1}{2} \left( \frac{2\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} \right) \cdot 1 = \frac{5\sqrt{3}}{6}$$

扇形 $\text{QPR}$ の中心角を調べる。 $\overrightarrow{\text{QP}} = \left( -1, \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$、$\overrightarrow{\text{QR}} = \left( 0, -\frac{2\sqrt{3}}{3} \right)$ であり、このなす角を $\theta$ とすると、内積を用いて

$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{\text{QP}} \cdot \overrightarrow{\text{QR}}}{|\overrightarrow{\text{QP}}| |\overrightarrow{\text{QR}}|} = \frac{-1 \cdot 0 + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)}{\frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}} = \frac{-\frac{2}{9}}{\frac{4}{3}} = -\frac{1}{2}$$

よって $\theta = \frac{2\pi}{3}$ である。扇形 $\text{QPR}$ の面積は

$$\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \left( \frac{12}{9} \right) \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{9}$$

したがって、$S_2 = \frac{5\sqrt{3}}{6} - \frac{4\pi}{9}$ である。以上より、全体の面積 $S$ は

$$S = S_1 + S_2 = (\sqrt{3} - 1) + \left( \frac{5\sqrt{3}}{6} - \frac{4\pi}{9} \right) = \frac{11\sqrt{3}}{6} - 1 - \frac{4\pi}{9}$$

解説

(1) における「2つの曲線が接する」という条件は、接点を共有し、かつその点における接線を共有するという基本に忠実に処理すればよい。その際、法線の方程式を立てると計算がスムーズである。

(2) の面積計算が本問の最大のポイントである。解法2のように $x$ 軸方向で考えると、実は円弧 $C_2$ が点 $\text{P}$ よりも少しだけ左側（$x$ 座標が小さい方向）にはみ出している。図形的な面積の足し引きを行えば結果的に正しい値が得られるが、厳密な答案を作成する上では、関数が一価関数となるように $y$ 軸方向に沿った積分（解法1）を選択するのが最も安全かつ論理的である。解法1の途中にある置換積分は、結果として円の面積の一部（扇形＋直角三角形）を求めていることと同義である。