数学3 定積分・面積 問題 125 解説

方針・初手

媒介変数で表された曲線の概形を把握するため、$x(t)$ の増減に着目します。曲線が自己交差して閉領域を形成するため、$x$ が同じ値をとるときの $y$ 座標の大小関係を比較し、領域の上下の境界を明確にすることが第一歩です。また、積分の計算においては $x = \cos 2t$ を用いた置換積分を行うことになりますが、計算量が膨らみやすいため、図形の対称性や積分の性質を利用して工夫することが求められます。

解法1

$x = \cos 2t, \ y = t \sin t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi)$ $x$ は周期 $\pi$ の関数であり、$t$ の変域を $I_1 = \left[0, \frac{\pi}{2}\right], I_2 = \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right], I_3 = \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right], I_4 = \left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$ に分けると、各区間において $x$ は $-1$ から $1$ または $1$ から $-1$ へ単調に変化する。

任意の $u \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ に対して、$x = \cos 2u$ とおくと $x \in (-1, 1)$ である。 同じ $x$ 座標を与える $t \in [0, 2\pi]$ は、以下の4つである。

$$t_1 = u, \quad t_2 = \pi - u, \quad t_3 = \pi + u, \quad t_4 = 2\pi - u$$

これらはそれぞれ区間 $I_1, I_2, I_3, I_4$ に属する。 各 $t$ に対する $y$ 座標を $y_k = y(t_k)$ $(k=1,2,3,4)$ とすると、

$$\begin{aligned} y_1 &= u \sin u \\ y_2 &= (\pi - u) \sin(\pi - u) = (\pi - u) \sin u \\ y_3 &= (\pi + u) \sin(\pi + u) = -(\pi + u) \sin u \\ y_4 &= (2\pi - u) \sin(2\pi - u) = -(2\pi - u) \sin u \end{aligned}$$

$0 < u < \frac{\pi}{2}$ より $\sin u > 0$ である。 $u < \pi - u$ より $y_2 - y_1 = (\pi - 2u) \sin u > 0$ であるから、$y_2 > y_1 > 0$ が成り立つ。 また、$\pi + u < 2\pi - u$ より $y_3 - y_4 = (\pi - 2u) \sin u > 0$ であるから、$0 > y_3 > y_4$ が成り立つ。

これより、曲線は $y > 0$ の領域に $y=y_2(x)$ を上端、$y=y_1(x)$ を下端とするループを囲み、$y < 0$ の領域に $y=y_3(x)$ を上端、$y=y_4(x)$ を下端とするループを囲むことがわかる。 それぞれのループが囲む面積を $S_1, S_2$ とすると、

$$\begin{aligned} S_1 &= \int_{-1}^1 (y_2 - y_1) dx \\ S_2 &= \int_{-1}^1 (y_3 - y_4) dx \end{aligned}$$

ここで、先ほどの計算から $y_2 - y_1 = (\pi - 2u) \sin u$、$y_3 - y_4 = (\pi - 2u) \sin u$ であり、任意の $x \in (-1, 1)$ において $y_2 - y_1 = y_3 - y_4$ が成立するため、$S_1 = S_2$ である。 したがって、求める面積 $S$ は $S = 2S_1$ となる。

$S_1$ について、$x = \cos 2u$ と置換すると $dx = -2\sin 2u du$ であり、$x$ が $-1 \to 1$ に変化するとき $u$ は $\frac{\pi}{2} \to 0$ に変化する。

$$\begin{aligned} S_1 &= \int_{\frac{\pi}{2}}^0 (\pi - 2u) \sin u \cdot (-2\sin 2u) du \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2(\pi - 2u) \sin u \sin 2u du \\ &= 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\pi - 2u) \sin^2 u \cos u du \end{aligned}$$

$\left(\frac{1}{3}\sin^3 u\right)' = \sin^2 u \cos u$ を利用して部分積分を行うと、

$$\begin{aligned} S_1 &= 4 \left[ (\pi - 2u) \cdot \frac{1}{3}\sin^3 u \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-2) \cdot \frac{1}{3}\sin^3 u du \\ &= 0 + \frac{8}{3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 u du \\ &= \frac{8}{3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos^2 u) \sin u du \end{aligned}$$

さらに $\cos u = v$ とおくと、$-\sin u du = dv$ であり、$u$ が $0 \to \frac{\pi}{2}$ のとき $v$ は $1 \to 0$ となる。

$$\begin{aligned} S_1 &= \frac{8}{3} \int_1^0 (1 - v^2) (-dv) \\ &= \frac{8}{3} \int_0^1 (1 - v^2) dv \\ &= \frac{8}{3} \left[ v - \frac{1}{3}v^3 \right]_0^1 \\ &= \frac{8}{3} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{16}{9} \end{aligned}$$

よって、求める面積 $S$ は

$$S = 2S_1 = 2 \times \frac{16}{9} = \frac{32}{9}$$

解法2

媒介変数表示された曲線が囲む面積を、曲線の進行方向を考慮した積分の和（周回積分）として求める。 $x'(t) = -2\sin 2t$ である。

$t$ が $0$ から $\pi$ まで変化するとき、曲線は上半平面（$y \geqq 0$）で1つのループを描く。 このとき、$x$ 座標は $1 \to -1 \to 1$ と変化するため、このループを囲む境界のうち、上側は $t \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ （$x$ は $-1 \to 1$）、下側は $t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ （$x$ は $1 \to -1$）に対応する。 このループの面積 $S_1$ は、

$$\begin{aligned} S_1 &= \int_{-1}^1 y_{up} dx - \int_{-1}^1 y_{down} dx \\ &= \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi y(t) x'(t) dt - \int_{\frac{\pi}{2}}^0 y(t) x'(t) dt \\ &= \int_0^\pi y(t) x'(t) dt \end{aligned}$$

と表せる。

同様に、$t$ が $\pi$ から $2\pi$ まで変化するとき、曲線は下半平面（$y \leqq 0$）でもう1つのループを描く。 $x$ 座標は $1 \to -1 \to 1$ と変化し、上側は $t \in \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right]$ （$x$ は $1 \to -1$）、下側は $t \in \left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$ （$x$ は $-1 \to 1$）に対応する。 このループの面積 $S_2$ は、

$$\begin{aligned} S_2 &= \int_{-1}^1 y_{up} dx - \int_{-1}^1 y_{down} dx \\ &= \int_{\frac{3\pi}{2}}^\pi y(t) x'(t) dt - \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} y(t) x'(t) dt \\ &= -\int_\pi^{2\pi} y(t) x'(t) dt \end{aligned}$$

と表せる。

$S_1$ を計算する。

$$\begin{aligned} S_1 &= \int_0^\pi t \sin t (-2\sin 2t) dt \\ &= -4 \int_0^\pi t \sin^2 t \cos t dt \\ &= -4 \left( \left[ t \cdot \frac{1}{3}\sin^3 t \right]_0^\pi - \int_0^\pi \frac{1}{3}\sin^3 t dt \right) \\ &= \frac{4}{3} \int_0^\pi (1 - \cos^2 t)\sin t dt \\ &= \frac{4}{3} \left[ -\cos t + \frac{1}{3}\cos^3 t \right]_0^\pi \\ &= \frac{4}{3} \left( \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) \right) = \frac{16}{9} \end{aligned}$$

次に $S_2$ を計算する。定積分において $t = u + \pi$ とおくと、$dt = du$ であり、$t$ が $\pi \to 2\pi$ のとき $u$ は $0 \to \pi$ に変化する。

$$\begin{aligned} y(t) &= (u+\pi)\sin(u+\pi) = -(u+\pi)\sin u \\ x'(t) &= -2\sin 2(u+\pi) = -2\sin 2u \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} S_2 &= -\int_0^\pi -(u+\pi)\sin u \cdot (-2\sin 2u) du \\ &= -4 \int_0^\pi (u+\pi)\sin^2 u \cos u du \\ &= -4 \left( \left[ (u+\pi) \cdot \frac{1}{3}\sin^3 u \right]_0^\pi - \int_0^\pi \frac{1}{3}\sin^3 u du \right) \\ &= 0 + \frac{4}{3} \int_0^\pi \sin^3 u du \\ &= \frac{16}{9} \end{aligned}$$

以上より、求める面積 $S$ は

$$S = S_1 + S_2 = \frac{16}{9} + \frac{16}{9} = \frac{32}{9}$$

解説

媒介変数表示された曲線が囲む面積を求める典型的な問題ですが、本問の図形は自己交差して2つのループを形成します。それぞれのループに対して、どこからどこまでの区間が上側の境界・下側の境界になるのかを正確に見極める力が問われます。 解法1のように同じ $x$ 座標をとる複数のパラメータ $t$ を列挙して縦の長さを比較すると、図形の上下関係が論理的に確定し、面積の式が立てやすくなります。また、計算の過程で上下のループの面積が等しいことが判明するため、計算量を半分に減らすことができます。 解法2は、媒介変数表示の面積公式 $\int y \frac{dx}{dt} dt$ の符号と曲線の進行方向（時計回りか反時計回りか）の対応関係を熟知している場合に有効な解法です。

答え

$$\frac{32}{9}$$