数学3 定積分・面積 問題 126 解説

方針・初手

極座標 $(r, \theta)$ と直交座標 $(x, y)$ の関係式 $x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ を用いて、$x$ および $y$ を $\theta$ の関数として表す。

問1では、それぞれを $\theta$ について微分し、増減を調べることで最大値・最小値を与える $\theta$ を求める。（$x$ については $\cos\theta$ の2次関数とみなすことも可能である。）

問2では、与えられた面積公式に問1で求めた積分区間と $r = 1 + \cos\theta$ を代入し、定積分を計算する。被積分関数の展開後、三角関数の半角の公式を用いて次数を下げてから積分を実行する。

解法1

問1

極座標 $(r, \theta)$ と直交座標 $(x, y)$ の間には、$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ の関係がある。 これに $r = 1 + \cos\theta$ を代入すると、

$$x = (1 + \cos\theta)\cos\theta = \cos\theta + \cos^2\theta$$

$$y = (1 + \cos\theta)\sin\theta = \sin\theta + \sin\theta\cos\theta$$

となる。$0 \leqq \theta \leqq \pi$ の範囲で、$y$ の増減を調べる。 $y$ を $\theta$ で微分すると、

$$\begin{aligned} y' &= \cos\theta + \cos\theta\cos\theta + \sin\theta(-\sin\theta) \\ &= \cos\theta + \cos^2\theta - \sin^2\theta \\ &= \cos\theta + \cos^2\theta - (1 - \cos^2\theta) \\ &= 2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 \\ &= (2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) \end{aligned}$$

$0 < \theta < \pi$ において $y' = 0$ となる $\theta$ は、$\cos\theta = \frac{1}{2}$ より $\theta = \frac{\pi}{3}$ である。 $y$ の増減表は以下のようになる。

増減表より、$y$ は $\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき最大となる。 このとき、$r_1$ は、

$$r_1 = 1 + \cos\frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

したがって、点 $\text{P}_1$ の極座標は $\left( \frac{3}{2}, \frac{\pi}{3} \right)$ である。

次に、$x$ の最小値を求める。

$$x = \cos^2\theta + \cos\theta = \left( \cos\theta + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4}$$

$0 \leqq \theta \leqq \pi$ より $-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$ であるから、$x$ は $\cos\theta = -\frac{1}{2}$ のとき最小となる。 これを満たす $\theta$ は $\theta = \frac{2}{3}\pi$ である。 このとき、$r_2$ は、

$$r_2 = 1 + \cos\frac{2}{3}\pi = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

したがって、点 $\text{P}_2$ の極座標は $\left( \frac{1}{2}, \frac{2}{3}\pi \right)$ である。

問2

問1の結果より、$\theta_1 = \frac{\pi}{3}$、$\theta_2 = \frac{2}{3}\pi$ である。 与えられた面積 $S$ の式に代入して計算する。

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2}{3}\pi} (1 + \cos\theta)^2 d\theta \\ &= \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2}{3}\pi} (1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta) d\theta \end{aligned}$$

半角の公式 $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を用いると、

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2}{3}\pi} \left( 1 + 2\cos\theta + \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \right) d\theta \\ &= \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2}{3}\pi} \left( \frac{3}{2} + 2\cos\theta + \frac{1}{2}\cos 2\theta \right) d\theta \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{3}{2}\theta + 2\sin\theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2}{3}\pi} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \left( \frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}\pi + 2\sin\frac{2}{3}\pi + \frac{1}{4}\sin\frac{4}{3}\pi \right) - \left( \frac{3}{2}\cdot\frac{\pi}{3} + 2\sin\frac{\pi}{3} + \frac{1}{4}\sin\frac{2}{3}\pi \right) \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \left( \pi + 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) - \left( \frac{\pi}{2} + 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \left( \pi + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) - \left( \frac{\pi}{2} + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{8} \right) \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) \\ &= \frac{2\pi - \sqrt{3}}{8} \end{aligned}$$

解説

極方程式 $r = f(\theta)$ で表される曲線の直交座標での扱いは頻出である。$x = f(\theta)\cos\theta$、$y = f(\theta)\sin\theta$ として媒介変数表示の形に持ち込み、微分法を用いて増減を調べるのが定石である。

本問の $x$ 座標については、$\cos\theta$ の2次関数となるため、微分を用いずに平方完成によって最小値を求める方が計算の手間を省くことができる。

問2の積分計算では、三角関数の偶数次の項（$\cos^2\theta$ など）が現れた場合に、半角の公式を用いて次数を1次まで下げることが積分を可能にするための重要なポイントである。面積を求める公式自体が問題文に与えられているため、単なる定積分計算の問題となっている。

答え

問1

$\text{P}_1\left( \frac{3}{2}, \frac{\pi}{3} \right)$, $\text{P}_2\left( \frac{1}{2}, \frac{2}{3}\pi \right)$

問2

$S = \frac{2\pi - \sqrt{3}}{8}$