数学3 定積分・面積 問題 127 解説

方針・初手

等式の左辺にある定積分を計算する。被積分関数に $x$ と $t$ が混在しているが、積分変数は $t$ であり $x$ は定数扱いとなることに注意する。そのまま部分積分を繰り返して積分を実行するか、$u = x-t$ と置換して積分変数と $x$ を分離してから計算する。

解法1

部分積分を用いて左辺の定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^x t^2 \sin(x-t) dt &= \left[ t^2 \cos(x-t) \right]_0^x - \int_0^x 2t \cos(x-t) dt \\ &= x^2 \cos 0 - 0 - 2 \left( \left[ t \left\{-\sin(x-t)\right\} \right]_0^x - \int_0^x 1 \cdot \left\{-\sin(x-t)\right\} dt \right) \\ &= x^2 - 2 \left( -x \sin 0 - 0 + \int_0^x \sin(x-t) dt \right) \\ &= x^2 - 2 \left[ \cos(x-t) \right]_0^x \\ &= x^2 - 2(\cos 0 - \cos x) \\ &= x^2 - 2(1 - \cos x) \\ &= x^2 + 2\cos x - 2 \end{aligned}$$

これが $x^2$ と等しいので、

$$x^2 + 2\cos x - 2 = x^2$$

整理すると、

$$2\cos x = 2$$

$$\cos x = 1$$

これをみたす実数 $x$ は、

$$x = 2n\pi \quad (n \text{は整数})$$

解法2

$u = x-t$ と置換して計算する。

$t = x-u$ であり、$dt = -du$ である。$t$ が $0$ から $x$ まで変化するとき、$u$ は $x$ から $0$ まで変化する。

$$\begin{aligned} \int_0^x t^2 \sin(x-t) dt &= \int_x^0 (x-u)^2 \sin u (-du) \\ &= \int_0^x (x-u)^2 \sin u du \\ &= \int_0^x (x^2 - 2xu + u^2) \sin u du \\ &= x^2 \int_0^x \sin u du - 2x \int_0^x u \sin u du + \int_0^x u^2 \sin u du \end{aligned}$$

それぞれの定積分を計算する。

$$\int_0^x \sin u du = \left[ -\cos u \right]_0^x = 1 - \cos x$$

$$\begin{aligned} \int_0^x u \sin u du &= \left[ -u \cos u \right]_0^x - \int_0^x (-\cos u) du \\ &= -x \cos x + \left[ \sin u \right]_0^x \\ &= -x \cos x + \sin x \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_0^x u^2 \sin u du &= \left[ -u^2 \cos u \right]_0^x - \int_0^x (-2u \cos u) du \\ &= -x^2 \cos x + 2 \int_0^x u \cos u du \\ &= -x^2 \cos x + 2 \left( \left[ u \sin u \right]_0^x - \int_0^x \sin u du \right) \\ &= -x^2 \cos x + 2 \left( x \sin x - \left[ -\cos u \right]_0^x \right) \\ &= -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x - 2 \end{aligned}$$

これらを代入すると、

$$\begin{aligned} \int_0^x t^2 \sin(x-t) dt &= x^2 (1 - \cos x) - 2x (-x \cos x + \sin x) + (-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x - 2) \\ &= x^2 - x^2 \cos x + 2x^2 \cos x - 2x \sin x - x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x - 2 \\ &= x^2 + 2\cos x - 2 \end{aligned}$$

与えられた等式より、

$$x^2 + 2\cos x - 2 = x^2$$

$$\cos x = 1$$

これをみたす実数 $x$ は、

$$x = 2n\pi \quad (n \text{は整数})$$

解説

被積分関数に積分変数 $t$ と定数扱いとなる $x$ が混ざっている定積分の基本問題である。本問のように $\sin(x-t)$ となっている場合は、そのまま部分積分を実行するか、$u = x-t$ と置換して展開することで定積分を計算できる。

置換積分の方が展開後の項数が多くなり計算の記述量が増えるが、定数 $x$ を積分の外に出して見通しを良くできるというメリットがある。一方で、本問では微分のたびに次数が下がる多項式と三角関数の積であるため、そのまま部分積分を実行する方が計算量が少なく簡潔に済む。

答え

$$x = 2n\pi \quad (n \text{は整数})$$