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数学3 定積分・面積問題 128 解説

方針・初手

有理関数（多項式分の多項式）の不定積分である。分母が因数分解できるため、部分分数分解を行ってから積分する。分母の次数が $3$ 次、分子の次数が $2$ 次であるから、多項式の割り算を行う必要はなく、直接部分分数分解を考える。

解法1

被積分関数の分母を因数分解すると、以下のようになる。

$$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)$$

したがって、被積分関数は定数 $A, B, C$ を用いて次のように部分分数分解できる。

$$\frac{6x^2 + x - 1}{x(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}$$

両辺に $x(x - 1)(x + 1)$ を掛けると、次の等式を得る。

$$6x^2 + x - 1 = A(x - 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1)$$

この等式は $x$ についての恒等式である。

$x = 0$ を代入すると、

$$-1 = -A \iff A = 1$$

$x = 1$ を代入すると、

$$6 = 2B \iff B = 3$$

$x = -1$ を代入すると、

$$4 = 2C \iff C = 2$$

これらより、被積分関数は次のように変形できる。

$$\frac{6x^2 + x - 1}{x^3 - x} = \frac{1}{x} + \frac{3}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$$

求める不定積分は、次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \int \frac{6x^2 + x - 1}{x^3 - x} dx &= \int \left( \frac{1}{x} + \frac{3}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} \right) dx \\ &= \log|x| + 3\log|x - 1| + 2\log|x + 1| \end{aligned}$$

（ただし、問題の指示により積分定数は省略した。）

解説

有理関数の積分における定石通り、部分分数分解を用いる問題である。分子の次数が分母の次数以上であれば、まず分子を分母で割って「多項式＋(分子の次数＜分母の次数)の分数式」の形にする必要があるが、本問では最初から分子の次数が分母の次数より低いため、すぐに部分分数分解の形を置いて計算を進めることができる。

恒等式の係数決定においては、本解答のように適当な値を代入して係数を求める「数値代入法」が計算量も少なく簡明である。もちろん、右辺を展開して同じ次数の項の係数を比較する「係数比較法」を用いてもよい。