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数学3 定積分・面積問題 129 解説

方針・初手

媒介変数表示された曲線の概形を捉え、定積分によって面積を求める典型問題である。 (1)、(2) で曲線の端点の座標と増減を調べることで、図形の概形を把握する。 (3) で指定された直線を求め、(4) で面積を計算する。(4) の面積計算では、三角関数の積を積分しやすい形に直す「積和の公式」などを活用する。

解法1

(1)

与えられた関数に $\theta = \frac{\pi}{3}$ を代入する。

$$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\cos\frac{\pi}{3} + \cos\frac{2\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

$$g\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\frac{\pi}{3} - \sin\frac{2\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

(2)

$f(\theta)$ について微分する。

$$f'(\theta) = -2\sin\theta - 2\sin 2\theta = -2\sin\theta(1 + 2\cos\theta)$$

$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}$ において、$\sin\theta \geqq 0$、$1+2\cos\theta > 0$ であるから、$f'(\theta) \leqq 0$ となる。等号が成立するのは $\theta=0$ のときのみであるから、$f(\theta)$ は単調に減少する。

次に $g(\theta)$ について微分する。

$$\begin{aligned} g'(\theta) &= 2\cos\theta - 2\cos 2\theta \\ &= 2\cos\theta - 2(2\cos^2\theta - 1) \\ &= -4\cos^2\theta + 2\cos\theta + 2 \\ &= -2(2\cos^2\theta - \cos\theta - 1) \\ &= -2(2\cos\theta + 1)(\cos\theta - 1) \end{aligned}$$

$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}$ において、$2\cos\theta + 1 > 0$、$\cos\theta - 1 \leqq 0$ であるから、$g'(\theta) \geqq 0$ となる。等号が成立するのは $\theta=0$ のときのみであるから、$g(\theta)$ は単調に増加する。

以上から、増減表は次のようになる。

$\theta$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{3}$
$f'(\theta)$	$0$	$-$	$-$
$f(\theta)$	$3$	$\searrow$	$\frac{1}{2}$
$g'(\theta)$	$0$	$+$	$+$
$g(\theta)$	$0$	$\nearrow$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$

(3)

求める直線 $l$ は、点 $(0,0)$ と点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ を通る直線である。原点を通るため、その傾きを求めると以下のようになる。

$$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{\frac{1}{2} - 0} = \sqrt{3}$$

したがって、直線 $l$ の方程式は $y = \sqrt{3}x$ である。

(4)

(2) の増減表より、$\theta$ が $0$ から $\frac{\pi}{3}$ まで変化するとき、$x$ 座標は $3$ から $\frac{1}{2}$ まで単調に減少し、$y$ 座標は $0$ から $\frac{\sqrt{3}}{2}$ まで単調に増加する。求める図形は、直線 $y = \sqrt{3}x$ （$0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$）、曲線 $C$ （$\frac{1}{2} \leqq x \leqq 3$）、および $x$ 軸で囲まれた領域である。この面積を $S$ とおくと、$S$ は直角三角形の面積と、曲線 $C$ の下部の面積の和として次のように立式できる。

$$S = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}x \, dx + \int_{\frac{1}{2}}^{3} y \, dx$$

第1項の直角三角形の面積は以下の通り計算できる。

$$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$$

第2項は、$x = f(\theta)$ と置換積分を行う。 $x$ が $\frac{1}{2}$ から $3$ まで変化するとき、$\theta$ は $\frac{\pi}{3}$ から $0$ へ変化する。また、$dx = f'(\theta) \, d\theta$ である。

$$\int_{\frac{1}{2}}^{3} y \, dx = \int_{\frac{\pi}{3}}^{0} g(\theta) f'(\theta) \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \{-g(\theta)f'(\theta)\} \, d\theta$$

被積分関数を展開し、積和の公式や半角の公式を用いて次数を下げる。

$$\begin{aligned} -g(\theta)f'(\theta) &= (2\sin\theta - \sin 2\theta)(2\sin\theta + 2\sin 2\theta) \\ &= 4\sin^2\theta + 2\sin\theta\sin 2\theta - 2\sin^2 2\theta \\ &= 4 \left( \frac{1-\cos 2\theta}{2} \right) + 2 \left( -\frac{\cos 3\theta - \cos\theta}{2} \right) - 2 \left( \frac{1-\cos 4\theta}{2} \right) \\ &= 2(1-\cos 2\theta) + (\cos\theta - \cos 3\theta) - (1-\cos 4\theta) \\ &= 1 + \cos\theta - 2\cos 2\theta - \cos 3\theta + \cos 4\theta \end{aligned}$$

これを積分する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \{-g(\theta)f'(\theta)\} \, d\theta &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 + \cos\theta - 2\cos 2\theta - \cos 3\theta + \cos 4\theta) \, d\theta \\ &= \left[ \theta + \sin\theta - \sin 2\theta - \frac{1}{3}\sin 3\theta + \frac{1}{4}\sin 4\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{\pi}{3} + \sin\frac{\pi}{3} - \sin\frac{2\pi}{3} - \frac{1}{3}\sin\pi + \frac{1}{4}\sin\frac{4\pi}{3} \\ &= \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 - \frac{\sqrt{3}}{8} \\ &= \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{8} \end{aligned}$$

以上より、求める面積 $S$ は次のようになる。

$$S = \frac{\sqrt{3}}{8} + \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) = \frac{\pi}{3}$$

解法2

(4)の別解（面積公式の利用）

原点と曲線 $x=f(\theta), y=g(\theta)$ 上の点を結ぶ線分が掃く領域の面積 $S$ は、次の公式で求められることが知られている。

$$S = \frac{1}{2} \int \left( x \frac{dy}{d\theta} - y \frac{dx}{d\theta} \right) d\theta$$

本問の図形は、まさに $\theta$ が $0$ から $\frac{\pi}{3}$ まで動く際に原点からの動径が掃く領域に一致する。被積分関数を計算する。

$$\begin{aligned} f(\theta)g'(\theta) - g(\theta)f'(\theta) &= (2\cos\theta + \cos 2\theta)(2\cos\theta - 2\cos 2\theta) - (2\sin\theta - \sin 2\theta)(-2\sin\theta - 2\sin 2\theta) \\ &= (4\cos^2\theta - 2\cos\theta\cos 2\theta - 2\cos^2 2\theta) - (-4\sin^2\theta - 2\sin\theta\sin 2\theta + 2\sin^2 2\theta) \\ &= 4(\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 2(\cos\theta\cos 2\theta - \sin\theta\sin 2\theta) - 2(\cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta) \\ &= 4 - 2\cos(\theta + 2\theta) - 2 \\ &= 2 - 2\cos 3\theta \end{aligned}$$

加法定理の逆を利用することで非常に簡潔な形になる。これを積分して面積 $S$ を求める。

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (2 - 2\cos 3\theta) \, d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos 3\theta) \, d\theta \\ &= \left[ \theta - \frac{1}{3}\sin 3\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{\pi}{3} - 0 \\ &= \frac{\pi}{3} \end{aligned}$$

解説

媒介変数表示された曲線の面積を求める総合問題である。(4) の積分計算が山場となる。解法1のように、忠実に図形を分割して置換積分を適用するのが最も標準的なアプローチである。その際、三角関数の次数を下げるために積和の公式や半角の公式を正確に使いこなす計算力が求められる。一方、解法2で紹介した公式 $\frac{1}{2} \int (xy' - yx') d\theta$ （ガウス・グリーンの定理の特殊ケース）は、原点を頂点とする扇形のような領域の面積を一発で求めることができる。この公式を知っていると、加法定理によって劇的に計算量が減るため、検算手法としても極めて有効である。