数学3 定積分・面積 問題 130 解説

方針・初手

定積分 $\int_0^\pi f(t) e^{-t} dt$ の積分区間は定数であり、$x$ に依存しないため、この定積分の値は定数となる。本問では問題文ですでにその定積分を $A$ とおいてくれているため、誘導に従って $f(t)$ を立式し、それを元の定積分の定義式に代入して $A$ についての方程式を解く。

解法1

与えられた方程式において、

$$A = \int_0^\pi f(t) e^{-t} dt$$

とおくと、関数 $f(x)$ は、

$$f(x) = e^x + A$$

と表される。このとき $f(t) = e^t + A$ であるから、これを $A$ を定めた定積分の式に代入すると、

$$\begin{aligned} A &= \int_0^\pi (e^t + A) e^{-t} dt \\ &= \int_0^\pi (1 + A e^{-t}) dt \\ &= \left[ t - A e^{-t} \right]_0^\pi \\ &= (\pi - A e^{-\pi}) - (0 - A e^0) \\ &= \pi - A e^{-\pi} + A \end{aligned}$$

となる。この式の両辺から $A$ を消去して整理すると、

$$0 = \pi - A e^{-\pi}$$

$$A e^{-\pi} = \pi$$

よって、求める $A$ の値は、

$$A = \pi e^\pi$$

である。

解説

積分区間の両端が定数であるような定積分を含む関数方程式の典型問題である。積分部分全体を一つの定数としておき、元の関数を具体的な文字を含んだ式で表した後、再び定積分の中に代入して方程式を立てるという定石通りの手順で解くことができる。積分計算自体も基本的なものであるため、確実に計算を合わせて完答したい。

答え

$$\pi e^\pi$$