数学3 定積分・面積 問題 131 解説

方針・初手

対数関数の真数条件から定義域を確認したうえで、導関数 $f'(x)$ と第2次導関数 $f''(x)$ を計算する。増減表を作成し、極小値（最小値）と変曲点を求める。定積分は部分積分法を用いて計算する。

解法1

関数 $f(x) = \sqrt{x} \log x$ について考える。対数関数の真数条件より、定義域は $x > 0$ である。

まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。積の微分公式より、

$$\begin{aligned} f'(x) &= (\sqrt{x})' \log x + \sqrt{x} (\log x)' \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \log x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \\ &= \frac{\log x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \\ &= \frac{\log x + 2}{2\sqrt{x}} \end{aligned}$$

となる。$f'(x) = 0$ とすると、$\log x + 2 = 0$ より $\log x = -2$、すなわち $x = e^{-2}$ である。

次に、第2次導関数 $f''(x)$ を求める。商の微分公式を用いて、

$$\begin{aligned} f''(x) &= \left( \frac{\log x + 2}{2\sqrt{x}} \right)' \\ &= \frac{(\log x + 2)' \cdot 2\sqrt{x} - (\log x + 2) \cdot (2\sqrt{x})'}{(2\sqrt{x})^2} \\ &= \frac{\frac{1}{x} \cdot 2\sqrt{x} - (\log x + 2) \cdot 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{4x} \\ &= \frac{\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\log x + 2}{\sqrt{x}}}{4x} \\ &= \frac{2 - (\log x + 2)}{4x\sqrt{x}} \\ &= \frac{-\log x}{4x\sqrt{x}} \end{aligned}$$

となる。$f''(x) = 0$ とすると、$-\log x = 0$ より $x = 1$ である。

これらより、$x > 0$ における $f(x)$ の増減と凹凸を調べるための増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & (0) & \cdots & e^{-2} & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & + & + \\ \hline f''(x) & & + & + & + & 0 & - \\ \hline f(x) & & \searrow \smile & \text{極小} & \nearrow \smile & \text{変曲点} & \nearrow \frown \end{array}$$

増減表より、$f(x)$ は $x = e^{-2}$ で最小値をとる。その値は、

$$f(e^{-2}) = \sqrt{e^{-2}} \log (e^{-2}) = e^{-1} \cdot (-2) = -\frac{2}{e}$$

である。これが (ア) の答えである。

また、増減表より $x = 1$ の前後で $f''(x)$ の符号が正から負に変わるため、点 $(1, f(1))$ すなわち $(1, 0)$ は変曲点である。よって、変曲点の $x$ 座標は $1$ である。これが (イ) の答えである。

最後に、定積分 $I = \int_1^e f(x) dx$ を計算する。部分積分法を用いると、

$$\begin{aligned} I &= \int_1^e x^{\frac{1}{2}} \log x \, dx \\ &= \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log x \right]_1^e - \int_1^e \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{x} \, dx \\ &= \left( \frac{2}{3} e^{\frac{3}{2}} \log e - 0 \right) - \frac{2}{3} \int_1^e x^{\frac{1}{2}} \, dx \\ &= \frac{2}{3} e\sqrt{e} - \frac{2}{3} \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_1^e \\ &= \frac{2}{3} e\sqrt{e} - \frac{4}{9} \left( e^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}} \right) \\ &= \frac{2}{3} e\sqrt{e} - \frac{4}{9} e\sqrt{e} + \frac{4}{9} \\ &= \frac{2}{9} e\sqrt{e} + \frac{4}{9} \end{aligned}$$

となる。これが (ウ) の答えである。

解説

微分の計算、極値と変曲点の判定、そして部分積分という、数学IIIの微分積分における基本的な計算力を問う標準的な問題である。

• $f'(x)$ の計算では、$\sqrt{x}$ と $\log x$ の積の微分法を正確に行う。
• $f''(x)$ の計算では、求めた $f'(x)$ に対して商の微分法を適用する。分母の処理に気をつける。
• 増減表を書く際は、対数関数の真数条件である $x>0$ の範囲で考えることを忘れない。また、$x=1$ が本当に変曲点であるか（$f''(x)$ の符号が変化するか）を確認する習慣をつけておく。
• 定積分では、$\log x$ が含まれる被積分関数の場合、基本方針として $\log x$ を「微分する側」、もう一方の関数を「積分する側」に設定して部分積分を行う。ここでは $x^{\frac{1}{2}}$ を積分する側とする。

答え

(ア) $-\frac{2}{e}$

(イ) $1$

(ウ) $\frac{2}{9} e\sqrt{e} + \frac{4}{9}$