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数学3 定積分・面積問題 133 解説

方針・初手

(1) は対数の微分計算であり、(3) の積分計算での誘導となる。(2) は数列の和の極限を区分求積法が使える形に変形する。(3) は (2) で求めた関数 $f(x)$ についての定積分を計算する。その際、(1) の結果を利用する。(4) は導関数を用いて増減を調べ、両無限遠での極限値も考慮して値域を求める。

解法1

(1)

与えられた関数を対数の性質を用いて展開してから微分する。

$$\log \left( \frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta} \right) = \log(1+\sin\theta) - \log(1-\sin\theta)$$

両辺を $\theta$ で微分する。

$$\begin{aligned} \frac{d}{d\theta} \log \left( \frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta} \right) &= \frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} - \frac{-\cos\theta}{1-\sin\theta} \\ &= \frac{\cos\theta(1-\sin\theta) + \cos\theta(1+\sin\theta)}{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)} \\ &= \frac{2\cos\theta}{1-\sin^2\theta} \\ &= \frac{2\cos\theta}{\cos^2\theta} \\ &= \frac{2}{\cos\theta} \end{aligned}$$

(2)

与えられた数列の和の第 $k$ 項は $\frac{n-k}{n\sqrt{3n^2+k^2}}$ である。これを区分求積法の形 $\frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right)$ に変形するため、分母分子をそれぞれ適切に $n$ で割る。

$$\begin{aligned} \frac{n-k}{n\sqrt{3n^2+k^2}} &= \frac{n\left(1 - \frac{k}{n}\right)}{n \cdot n\sqrt{3 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}} \\ &= \frac{1}{n} \cdot \frac{1 - \frac{k}{n}}{\sqrt{3 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}} \end{aligned}$$

したがって、$f(x) = \frac{1-x}{\sqrt{3+x^2}}$ となる。

(3)

区分求積法を用いると、極限値 $\alpha$ は定積分で表される。

$$\alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$$

$f(x)$ を代入し、積分を2つに分ける。

$$\alpha = \int_0^1 \frac{1-x}{\sqrt{3+x^2}} dx = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{3+x^2}} dx - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{3+x^2}} dx$$

第1項の積分を $I_1$、第2項の積分を $I_2$ とする。まず、$I_2$ について計算する。

$$I_2 = \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{3+x^2}} dx = \left[ \sqrt{3+x^2} \right]_0^1 = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$$

次に、$I_1$ について、$x = \sqrt{3}\tan\theta$ と置換して計算する。 $dx = \frac{\sqrt{3}}{\cos^2\theta} d\theta$ であり、積分区間は $x$ が $0$ から $1$ に変化するとき、$\theta$ は $0$ から $\frac{\pi}{6}$ に変化する。

$$\begin{aligned} I_1 &= \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{3+x^2}} dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\sqrt{3(1+\tan^2\theta)}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\cos^2\theta} d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos\theta}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\cos^2\theta} d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\cos\theta} d\theta \end{aligned}$$

ここで、(1) の結果より $\frac{1}{\cos\theta} = \frac{1}{2} \frac{d}{d\theta} \log \left( \frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta} \right)$ であるから、

$$\begin{aligned} I_1 &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \left\{ \frac{1}{2} \frac{d}{d\theta} \log \left( \frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta} \right) \right\} d\theta \\ &= \left[ \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta} \right) \right]_0^{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{1}{2} \log \left( \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \right) - \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+0}{1-0} \right) \\ &= \frac{1}{2} \log 3 - 0 \\ &= \frac{1}{2} \log 3 \end{aligned}$$

よって、$\alpha = I_1 - I_2 = \frac{1}{2} \log 3 - (2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{2} \log 3 - 2 + \sqrt{3}$ となる。

(4)

$f(x) = \frac{1-x}{\sqrt{x^2+3}}$ を微分して増減を調べる。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{-(x^2+3)^{\frac{1}{2}} - (1-x) \cdot \frac{1}{2}(x^2+3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x}{x^2+3} \\ &= \frac{-(x^2+3) - x(1-x)}{(x^2+3)^{\frac{3}{2}}} \\ &= \frac{-x-3}{(x^2+3)^{\frac{3}{2}}} \end{aligned}$$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -3$ のときである。また、$x \to \pm\infty$ のときの極限を求める。

$x \to \infty$ のとき、

$$f(x) = \frac{x \left( \frac{1}{x} - 1 \right)}{x \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} = \frac{\frac{1}{x} - 1}{\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} \to -1$$

$x \to -\infty$ のとき、$x < 0$ であるから $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ に注意すると、

$$f(x) = \frac{x \left( \frac{1}{x} - 1 \right)}{-x \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} = \frac{\frac{1}{x} - 1}{-\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}} \to 1$$

これらより、$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$-3$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\nearrow$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\searrow$

$f(-3) = \frac{1-(-3)}{\sqrt{(-3)^2+3}} = \frac{4}{\sqrt{12}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ であり、極限値も考慮すると、関数 $f(x)$ のとりうる値の範囲は $-1 < f(x) \leqq \frac{2\sqrt{3}}{3}$ となる。

解説

区分求積法と定積分、さらに積分計算の誘導に関する標準的な問題である。 (1) は (3) の $\int \frac{1}{\cos\theta} d\theta$ の計算に対する強力な誘導となっている。この積分は公式として暗記している受験生もいるかもしれないが、本問のように微分結果から逆算させる形での誘導が与えられることも多い。 (4) の値域を求める問題では、$x \to -\infty$ の極限を計算する際、根号を外す処理において $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ となる点に注意が必要である。ここで符号を間違えると誤った極限を導いてしまうため、慎重に計算したい。