数学3 定積分・面積 問題 140 解説

方針・初手

積分区間が $[-1, 1]$ と原点対称であること、および被積分関数の分母が $1+e^x$ であることに着目する。$x = -t$ と置換積分を行い、元の積分と足し合わせるか、積分区間を分割することで、分母の $1+e^x$ を消去する工夫を行う。

解法1

求める定積分を $I$ とおく。すなわち、

$$I = \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+e^x} dx$$

とする。この積分において、$x = -t$ と置換する。 $dx = -dt$ であり、$x$ と $t$ の対応は以下のようになる。

$x \quad -1 \to 1$ $t \quad 1 \to -1$

これを用いて $I$ を書き換えると、

$$I = \int_{1}^{-1} \frac{(-t)^2}{1+e^{-t}} (-dt)$$

$$I = \int_{-1}^{1} \frac{t^2}{1+e^{-t}} dt$$

分母分子に $e^t$ を掛けると、

$$I = \int_{-1}^{1} \frac{t^2 e^t}{e^t+1} dt$$

定積分における積分変数の文字は自由に置き換えることができるため、$t$ を $x$ に戻して表す。

$$I = \int_{-1}^{1} \frac{x^2 e^x}{1+e^x} dx$$

ここで、最初の $I$ の式と、いま導いた $I$ の式を辺々足し合わせる。

$$I + I = \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+e^x} dx + \int_{-1}^{1} \frac{x^2 e^x}{1+e^x} dx$$

$$2I = \int_{-1}^{1} \frac{x^2 (1+e^x)}{1+e^x} dx$$

被積分関数が約分され、簡潔な形になる。

$$2I = \int_{-1}^{1} x^2 dx$$

被積分関数 $x^2$ は偶関数であるから、

$$2I = 2 \int_{0}^{1} x^2 dx$$

$$I = \int_{0}^{1} x^2 dx$$

$$I = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$$

$$I = \frac{1}{3}$$

解法2

積分区間を $[-1, 0]$ と $[0, 1]$ に分割して計算する。

$$\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+e^x} dx = \int_{-1}^{0} \frac{x^2}{1+e^x} dx + \int_{0}^{1} \frac{x^2}{1+e^x} dx$$

右辺の第1項の積分について、$x = -t$ と置換する。 $dx = -dt$ であり、$x$ が $-1$ から $0$ まで変化するとき、$t$ は $1$ から $0$ まで変化する。

$$\int_{-1}^{0} \frac{x^2}{1+e^x} dx = \int_{1}^{0} \frac{(-t)^2}{1+e^{-t}} (-dt)$$

$$= \int_{0}^{1} \frac{t^2}{1+e^{-t}} dt$$

分母分子に $e^t$ を掛ける。

$$= \int_{0}^{1} \frac{t^2 e^t}{e^t+1} dt$$

積分変数を $x$ に直すと、

$$= \int_{0}^{1} \frac{x^2 e^x}{1+e^x} dx$$

これを元の式に代入する。

$$\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+e^x} dx = \int_{0}^{1} \frac{x^2 e^x}{1+e^x} dx + \int_{0}^{1} \frac{x^2}{1+e^x} dx$$

積分区間が一致したので、一つの積分にまとめる。

$$= \int_{0}^{1} \frac{x^2 e^x + x^2}{1+e^x} dx$$

$$= \int_{0}^{1} \frac{x^2(e^x + 1)}{1+e^x} dx$$

$$= \int_{0}^{1} x^2 dx$$

$$= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$$

$$= \frac{1}{3}$$

解説

分母に $1+e^x$（あるいは $1+a^x$）があり、分子が偶関数である関数の原点対称な区間での定積分において頻出のテクニックである。 一般に、連続な偶関数 $f(x)$ について、

$$\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+e^x} dx = \int_{0}^{a} f(x) dx$$

が成り立つ。本問は $f(x) = x^2, a=1$ の場合に相当し、この性質の導出プロセスをそのまま記述すれば解答となる。 このように $x \to -x$ となるような置換積分を行い、うまく積分できる形に変形する手法は、難関大の積分問題でしばしば登場するため、確実に身につけておきたい発想である。

答え

$$\frac{1}{3}$$