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数学3 定積分・面積問題 141 解説

方針・初手

(1) と (2) は $f(x) - 2e^x$ の符号を調べる問題である。$f(x)$ と $2e^x$ はともに $e^x$ を因数に持つので、$e^x$ でくくり出した残りの部分について、微分を用いて増減を調べる。(3) は (1) と (2) の結果から2曲線の上下関係と交点が分かるので、定積分を計算して面積を求める。

解法1

(1)

$f(x) - 2e^x = (x+1)e^{2x-1} - 2e^x = e^x \{ (x+1)e^{x-1} - 2 \}$ である。

ここで、$g(x) = (x+1)e^{x-1} - 2$ とおく。$g(x)$ を $x$ について微分すると、積の微分公式より

$$g'(x) = 1 \cdot e^{x-1} + (x+1) \cdot e^{x-1} = (x+2)e^{x-1}$$

となる。$x > 1$ のとき、$x+2 > 0$ かつ $e^{x-1} > 0$ であるから、$g'(x) > 0$ となる。したがって、関数 $g(x)$ は $x \geqq 1$ において単調に増加する。

$x = 1$ のときの値は、$g(1) = 2 \cdot e^0 - 2 = 0$ であるから、$x > 1$ において $g(x) > g(1) = 0$ が成り立つ。

また、すべての実数 $x$ に対して $e^x > 0$ であるから、$x > 1$ において

$$f(x) - 2e^x = e^x g(x) > 0$$

となる。ゆえに、$x > 1$ のとき $f(x) > 2e^x$ が成り立つことが示された。

(2)

(1) の関数 $g(x)$ について、$g'(x) = 0$ とすると $x = -2$ である。 $g(x)$ の増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -2 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline g'(x) & - & 0 & + & + & + \\ \hline g(x) & \searrow & \text{極小} & \nearrow & 0 & \nearrow \end{array}$$

増減表より、$x \leqq 1$ における $g(x)$ の最大値は $g(1) = 0$ である。したがって、$x < 1$ のとき $g(x) < 0$ が成り立つ。

$e^x > 0$ であるから、$x < 1$ において

$$f(x) - 2e^x = e^x g(x) < 0$$

となる。ゆえに、$x < 1$ のとき $f(x) < 2e^x$ が成り立つことが示された。

(3)

(1) と (2) の結果より、$x=1$ を境に $y = 2e^x$ と $y = f(x)$ の上下関係が入れ替わることがわかる。$x=1$ のとき、$g(1) = 0$ より $f(1) = 2e^1$ となり、2曲線は点 $(1, 2e)$ で交わる。

求める面積は、2曲線 $y = 2e^x$、$y = f(x)$ および $y$ 軸（$x = 0$）で囲まれた図形の面積である。 (2) より、$0 \leqq x \leqq 1$ の範囲では $2e^x \geqq f(x)$ であるから、求める面積 $S$ は

$$S = \int_{0}^{1} \{ 2e^x - f(x) \} dx = \int_{0}^{1} \{ 2e^x - (x+1)e^{2x-1} \} dx$$

となる。それぞれの項を積分する。

$$\int_{0}^{1} 2e^x dx = \left[ 2e^x \right]_{0}^{1} = 2e - 2$$

また、部分積分法を用いて

$$\int_{0}^{1} (x+1)e^{2x-1} dx = \left[ (x+1) \cdot \frac{1}{2} e^{2x-1} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{2} e^{2x-1} dx$$

$$= \left( 2 \cdot \frac{1}{2} e^1 - 1 \cdot \frac{1}{2} e^{-1} \right) - \left[ \frac{1}{4} e^{2x-1} \right]_{0}^{1}$$

$$= \left( e - \frac{1}{2e} \right) - \left( \frac{1}{4} e - \frac{1}{4e} \right)$$

$$= \frac{3}{4} e - \frac{1}{4e}$$

以上より、求める面積 $S$ は

$$S = (2e - 2) - \left( \frac{3}{4} e - \frac{1}{4e} \right) = \frac{5}{4} e - 2 + \frac{1}{4e}$$

となる。

解説

不等式の証明と面積計算を組み合わせた標準的な微積分の問題である。 (1) と (2) は、$f(x) - 2e^x$ をそのまま微分しても証明は可能だが、$e^x > 0$ であることに着目して $e^x$ をくくり出し、残りの部分の増減を調べる方が、微分の計算や符号の判定が容易になる。 (3) は (1) と (2) が親切な誘導になっており、面積を求める積分区間が $0 \leqq x \leqq 1$ であること、およびその区間での被積分関数の符号（上下関係）が明らかになる仕組みである。部分積分を正確に実行できるかがポイントとなる。