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数学3 定積分・面積問題 142 解説

方針・初手

前半は加法定理を用いて $\tan \frac{5\pi}{12}$ の値を求める。後半の定積分は、被積分関数の分母に $x^2+a^2$ の形を含むため、$x = a\tan\theta$ と置換する定石を用いる。この際、積分区間の上端を定めるために、前半の計算結果が誘導として機能することに着目する。

解法1

まず、$\tan \frac{5\pi}{12}$ の値を求める。

$$\frac{5\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}$$

であるから、正接の加法定理より、

$$\tan \frac{5\pi}{12} = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} + \tan \frac{\pi}{6}}{1 - \tan \frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{6}}$$

$\tan \frac{\pi}{4} = 1$、$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を代入して計算すると、

$$\tan \frac{5\pi}{12} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$$

分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{3} + 1$ を掛ける。

$$\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$$

したがって、(ク) は $2 + \sqrt{3}$ となる。

次に、定積分 $I = \int_{0}^{2(2+\sqrt{3})} \frac{16}{(x^2+4)^2} dx$ を計算する。

分母の $x^2+4$ に着目し、$x = 2 \tan\theta$ $\left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$ とおく。

$$dx = \frac{2}{\cos^2 \theta} d\theta$$

積分区間の対応を調べる。

$x = 0$ のとき $\tan\theta = 0$ より $\theta = 0$。

$x = 2(2+\sqrt{3})$ のとき $\tan\theta = 2+\sqrt{3}$ であり、前半の結果から $\theta = \frac{5\pi}{12}$ である。

したがって、積分区間は $0 \leqq x \leqq 2(2+\sqrt{3})$ から $0 \leqq \theta \leqq \frac{5\pi}{12}$ に変わる。

これらを用いて置換積分を実行する。分母は次のように変形できる。

$$x^2 + 4 = (2\tan\theta)^2 + 4 = 4(\tan^2\theta + 1) = \frac{4}{\cos^2\theta}$$

よって、$I$ の式は以下のようになる。

$$I = \int_{0}^{\frac{5\pi}{12}} \frac{16}{\left( \frac{4}{\cos^2\theta} \right)^2} \cdot \frac{2}{\cos^2\theta} d\theta$$

$$I = \int_{0}^{\frac{5\pi}{12}} 16 \cdot \frac{\cos^4\theta}{16} \cdot \frac{2}{\cos^2\theta} d\theta$$

$$I = \int_{0}^{\frac{5\pi}{12}} 2\cos^2\theta d\theta$$

半角の公式 $2\cos^2\theta = 1 + \cos 2\theta$ を用いて次数を下げる。

$$I = \int_{0}^{\frac{5\pi}{12}} (1 + \cos 2\theta) d\theta$$

$$I = \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta \right]_{0}^{\frac{5\pi}{12}}$$

値を代入して計算する。

$$I = \left( \frac{5\pi}{12} + \frac{1}{2}\sin \frac{5\pi}{6} \right) - \left( 0 + \frac{1}{2}\sin 0 \right)$$

$\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$ であるから、

$$I = \frac{5\pi}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5\pi}{12} + \frac{1}{4}$$

したがって、(ケ) は $\frac{5\pi}{12} + \frac{1}{4}$ となる。

解説

加法定理の基本的な計算と、$x = a\tan\theta$ とおく置換積分の典型問題である。

前半で求めた $\tan \frac{5\pi}{12} = 2+\sqrt{3}$ という値が、後半の定積分において積分区間の上端を $\frac{5\pi}{12}$ と決定するための誘導として働いている。積分においては、被積分関数に $x^2+a^2$ の形が含まれる場合は $x=a\tan\theta$、$a^2-x^2$ の形が含まれる場合は $x=a\sin\theta$ と置換する定石を確実に押さえておきたい。