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数学3 定積分・面積問題 145 解説

方針・初手

本問は、固定円の周りを動円が滑らずに転がるときに描かれる軌跡（エピサイクロイド、特に本問はカージオイド）に関する典型問題である。

(1) は、ベクトルを用いて点 P の位置を求めるのが最も確実である。動円の中心 A の位置ベクトルと、中心 A から点 P へ向かうベクトル $\overrightarrow{\text{AP}}$ に分けて考え、それぞれの偏角（$x$ 軸の正の向きとなす角）を正しく把握する。 (2) は、媒介変数表示された曲線が $x$ 軸対称であることを示すため、パラメータ $\theta$ と $2\pi - \theta$ に対応する点の座標の間に成り立つ関係を調べる。 (3) は、(2) で示した対称性を活かして上半分の面積を2倍して求める定石と、閉曲線の面積公式 $\frac{1}{2}\int (xy' - yx') d\theta$ を用いる方法がある。円 $S_1$ の面積を最後に引くことを忘れないようにする。

解法1

(1)

原点を O とし、円 $S_2$ の中心を A、円 $S_1$ と円 $S_2$ の接点を T とする。

動径 OA と $x$ 軸の正の部分とのなす角が $\theta$ であり、線分 OA の長さは $1 + 1 = 2$ であるから、中心 A の位置ベクトルは以下のようになる。

$$\overrightarrow{\text{OA}} = (2\cos\theta, 2\sin\theta)$$

接点 T は線分 OA の中点であるから、その位置ベクトルは以下の通りである。

$$\overrightarrow{\text{OT}} = (\cos\theta, \sin\theta)$$

これにより、中心 A から接点 T へ向かうベクトル $\overrightarrow{\text{AT}}$ は次のように表される。

$$\overrightarrow{\text{AT}} = \overrightarrow{\text{OT}} - \overrightarrow{\text{OA}} = (-\cos\theta, -\sin\theta)$$

このベクトル $\overrightarrow{\text{AT}}$ の $x$ 軸の正の向きとなす角（偏角）は $\theta + \pi$ である。

円 $S_2$ が円 $S_1$ の周りを滑らずに転がるとき、接点 T が円 $S_1$ 上を動いた弧の長さと、円 $S_2$ 上の点 P から接点 T までの弧の長さは等しい。接点 T は半径 $1$ の円 $S_1$ 上を角 $\theta$ だけ移動するため、その弧の長さは $\theta$ である。円 $S_2$ の半径も $1$ であるから、円 $S_2$ における弧 TP の中心角 $\angle\text{TAP}$ も $\theta$ となる。

円 $S_2$ は反時計回りに公転しながら転がるため、円 $S_2$ 上の接点 T から見て、点 P は反時計回りに角 $\theta$ だけ進んだ位置にある。したがって、ベクトル $\overrightarrow{\text{AP}}$ の偏角は、$\overrightarrow{\text{AT}}$ の偏角 $\theta + \pi$ からさらに $\theta$ だけ進んだ $2\theta + \pi$ となる。

$$\overrightarrow{\text{AP}} = (\cos(2\theta + \pi), \sin(2\theta + \pi)) = (-\cos2\theta, -\sin2\theta)$$

点 P の位置ベクトルは $\overrightarrow{\text{OP}} = \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{AP}}$ であるから、以下のようになる。

$$\overrightarrow{\text{OP}} = (2\cos\theta - \cos2\theta, 2\sin\theta - \sin2\theta)$$

これより、求める座標は次のように表される。

$$\begin{aligned} x(\theta) &= 2\cos\theta - \cos2\theta \\ y(\theta) &= 2\sin\theta - \sin2\theta \end{aligned}$$

(2)

曲線 $C$ が $x$ 軸に関して対称であることを示すには、任意の $\theta \ (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$ に対して、点 $(x(2\pi - \theta), y(2\pi - \theta))$ が点 $(x(\theta), y(\theta))$ と $x$ 軸に関して対称な位置にあること、すなわち $x(2\pi - \theta) = x(\theta)$ かつ $y(2\pi - \theta) = -y(\theta)$ を示せばよい。

$x(2\pi - \theta)$ について計算する。

$$\begin{aligned} x(2\pi - \theta) &= 2\cos(2\pi - \theta) - \cos(2(2\pi - \theta)) \\ &= 2\cos(-\theta) - \cos(4\pi - 2\theta) \\ &= 2\cos\theta - \cos(-2\theta) \\ &= 2\cos\theta - \cos2\theta \\ &= x(\theta) \end{aligned}$$

同様に、$y(2\pi - \theta)$ について計算する。

$$\begin{aligned} y(2\pi - \theta) &= 2\sin(2\pi - \theta) - \sin(2(2\pi - \theta)) \\ &= 2\sin(-\theta) - \sin(4\pi - 2\theta) \\ &= -2\sin\theta - \sin(-2\theta) \\ &= -2\sin\theta + \sin2\theta \\ &= -(2\sin\theta - \sin2\theta) \\ &= -y(\theta) \end{aligned}$$

$\theta$ が $0$ から $\pi$ まで変化するとき、$2\pi - \theta$ は $2\pi$ から $\pi$ まで変化し、互いに $x$ 軸対称な点を網羅する。よって、曲線 $C$ は $x$ 軸に関して対称である。

(3)

対称性より、曲線 $C$ の上半分（$0 \leqq \theta \leqq \pi$）と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S_0$ を求め、それを2倍して全体の面積から円 $S_1$ の面積を引く方針で計算する。

$0 \leqq \theta \leqq \pi$ において、$y(\theta) \geqq 0$ である。$x(\theta)$ の増減を調べる。

$$\begin{aligned} \frac{dx}{d\theta} &= -2\sin\theta + 2\sin2\theta \\ &= -2\sin\theta + 4\sin\theta\cos\theta \\ &= 2\sin\theta(2\cos\theta - 1) \end{aligned}$$

$0 < \theta < \pi$ において $\frac{dx}{d\theta} = 0$ となるのは $\cos\theta = \frac{1}{2}$、すなわち $\theta = \frac{\pi}{3}$ のときである。 $\theta = 0$ のとき $x = 1$、$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき $x = \frac{3}{2}$、$\theta = \pi$ のとき $x = -3$ となるため、$x$ は区間 $\left[ 0, \frac{\pi}{3} \right]$ で $1$ から $\frac{3}{2}$ に増加し、区間 $\left[ \frac{\pi}{3}, \pi \right]$ で $\frac{3}{2}$ から $-3$ に減少する。

したがって、曲線 $C$ の上半分と $x$ 軸で囲まれた面積 $S_0$ は以下の積分で表される。

$$S_0 = \int_{-3}^{\frac{3}{2}} y \, dx - \int_{1}^{\frac{3}{2}} y \, dx$$

これをパラメータ $\theta$ を用いた積分に置換する。

$$\begin{aligned} S_0 &= \int_{\pi}^{\frac{\pi}{3}} y \frac{dx}{d\theta} d\theta - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} y \frac{dx}{d\theta} d\theta \\ &= -\int_{0}^{\pi} y \frac{dx}{d\theta} d\theta \end{aligned}$$

被積分関数 $y \frac{dx}{d\theta}$ を計算する。

$$\begin{aligned} y \frac{dx}{d\theta} &= (2\sin\theta - \sin2\theta)(-2\sin\theta + 2\sin2\theta) \\ &= -4\sin^2\theta + 4\sin\theta\sin2\theta + 2\sin\theta\sin2\theta - 2\sin^2 2\theta \\ &= -4\sin^2\theta + 6\sin\theta\sin2\theta - 2\sin^2 2\theta \end{aligned}$$

半角の公式および2倍角の公式を用いて、積分しやすい形に変形する。

$$\begin{aligned} y \frac{dx}{d\theta} &= -4\left(\frac{1 - \cos2\theta}{2}\right) + 6\sin\theta(2\sin\theta\cos\theta) - 2\left(\frac{1 - \cos4\theta}{2}\right) \\ &= -2 + 2\cos2\theta + 12\sin^2\theta\cos\theta - 1 + \cos4\theta \\ &= -3 + 2\cos2\theta + \cos4\theta + 12\sin^2\theta\cos\theta \end{aligned}$$

これを積分する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi} y \frac{dx}{d\theta} d\theta &= \int_{0}^{\pi} \left( -3 + 2\cos2\theta + \cos4\theta + 12\sin^2\theta\cos\theta \right) d\theta \\ &= \left[ -3\theta + \sin2\theta + \frac{1}{4}\sin4\theta + 4\sin^3\theta \right]_0^\pi \\ &= -3\pi \end{aligned}$$

よって、$S_0 = -(-3\pi) = 3\pi$ となる。曲線 $C$ が囲む全体の面積は $2 S_0 = 6\pi$ である。求める面積は、これから半径 $1$ の円 $S_1$ の面積 $\pi \cdot 1^2 = \pi$ を引いた部分である。

$$6\pi - \pi = 5\pi$$

解法2

(3) の別解

閉曲線が囲む面積の公式 $S_C = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \left( x(\theta)y'(\theta) - x'(\theta)y(\theta) \right) d\theta$ を用いて、曲線 $C$ 全体の内部の面積を直接求める。

$x(\theta)$ と $y(\theta)$ を微分する。

$$\begin{aligned} x'(\theta) &= -2\sin\theta + 2\sin2\theta \\ y'(\theta) &= 2\cos\theta - 2\cos2\theta \end{aligned}$$

被積分関数を計算する。

$$\begin{aligned} x y' - x' y &= (2\cos\theta - \cos2\theta)(2\cos\theta - 2\cos2\theta) - (-2\sin\theta + 2\sin2\theta)(2\sin\theta - \sin2\theta) \\ &= (4\cos^2\theta - 6\cos\theta\cos2\theta + 2\cos^2 2\theta) - (-4\sin^2\theta + 6\sin\theta\sin2\theta - 2\sin^2 2\theta) \\ &= 4(\cos^2\theta + \sin^2\theta) + 2(\cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta) - 6(\cos\theta\cos2\theta + \sin\theta\sin2\theta) \\ &= 4 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 6\cos(2\theta - \theta) \\ &= 6 - 6\cos\theta \end{aligned}$$

これを用いて、曲線 $C$ 全体が囲む面積 $S_C$ を計算する。

$$\begin{aligned} S_C &= \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (6 - 6\cos\theta) d\theta \\ &= 3 \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos\theta) d\theta \\ &= 3 \left[ \theta - \sin\theta \right]_0^{2\pi} \\ &= 6\pi \end{aligned}$$

求める面積は、曲線 $C$ の面積 $S_C$ から円 $S_1$ の面積 $\pi$ を除いたものである。

$$6\pi - \pi = 5\pi$$

解説

本問で現れる図形は「カージオイド（心臓形）」と呼ばれる有名な曲線である。 (1) では、円が「滑らずに転がる」という条件を数式に翻訳する力が問われている。図形的に角度を直接追うとミスを招きやすいため、中心座標と相対ベクトルに分解し、それぞれの偏角を論理的に足し合わせる手順を踏むと安全である。 (3) の面積計算においては、通常の $x$ 軸を基準とした定積分（解法1）を行う場合、媒介変数表示の微分と積分区間の対応関係に細心の注意を払う必要がある。一方で、解法2で示した公式 $\frac{1}{2} \int (xy' - x'y) d\theta$ は計算量が大幅に削減できるため、検算用途も含めて強力なツールとなる。