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数学3 定積分・面積問題 146 解説

方針・初手

(1)は定義域の確認（真数条件）から始め、導関数を求めて増減表をかく。
(2)は2曲線の交点を求め、積分区間における上下関係を把握してから面積の定積分を計算する。積分計算には部分積分法を用いる。

解法1

(1)

対数の真数条件より、関数 $f(x)$ の定義域は $x > 0$ である。

関数 $f(x)$ を微分すると、

$$f'(x) = \frac{(\log x)' \cdot x^2 - \log x \cdot (x^2)'}{(x^2)^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \log x \cdot 2x}{x^4} = \frac{x - 2x \log x}{x^4} = \frac{1 - 2\log x}{x^3}$$

$f'(x) = 0$ とすると、$1 - 2\log x = 0$ より $\log x = \frac{1}{2}$ であるから、

$$x = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$$

$x > 0$ の範囲で $f(x)$ の増減を調べると、 $0 < x < \sqrt{e}$ では $1 - 2\log x > 0$ であり、$x^3 > 0$ ゆえ $f'(x) > 0$ $x > \sqrt{e}$ では $1 - 2\log x < 0$ であり、$x^3 > 0$ ゆえ $f'(x) < 0$

したがって、$f(x)$ は $x = \sqrt{e}$ で極大となり、極小値は存在しない。極大値は、

$$f(\sqrt{e}) = \frac{\log e^{\frac{1}{2}}}{(\sqrt{e})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{e} = \frac{1}{2e}$$

(2)

2曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ の交点の $x$ 座標を求める。 $f(x) = g(x)$ より、

$$\frac{\log x}{x^2} = \frac{1}{4} \log x$$

$$\left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{4} \right) \log x = 0$$

$x > 0$ の範囲でこれを解くと、$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{4} = 0$ または $\log x = 0$ となる。 $\frac{1}{x^2} = \frac{1}{4}$ より $x^2 = 4$ であり、$x > 0$ から $x = 2$ を得る。 $\log x = 0$ より $x = 1$ を得る。ゆえに、交点の $x$ 座標は $x = 1, 2$ である。

区間 $1 \leqq x \leqq 2$ における2曲線の上下関係を調べる。この区間では $x^2 \leqq 4$ すなわち $\frac{1}{4} \leqq \frac{1}{x^2}$ であり、また $\log x \geqq 0$ であるから、

$$f(x) - g(x) = \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{4} \right) \log x \geqq 0$$

が成り立つ。よって、区間 $1 \leqq x \leqq 2$ において $f(x) \geqq g(x)$ である。求める面積 $S$ は、

$$S = \int_{1}^{2} \{ f(x) - g(x) \} dx = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{4} \right) \log x dx$$

部分積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} S &= \int_{1}^{2} \left( -\frac{1}{x} - \frac{1}{4} x \right)' \log x dx \\ &= \left[ \left( -\frac{1}{x} - \frac{1}{4} x \right) \log x \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \left( -\frac{1}{x} - \frac{1}{4} x \right) \frac{1}{x} dx \\ &= \left\{ \left( -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) \log 2 - \left( -1 - \frac{1}{4} \right) \log 1 \right\} + \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{4} \right) dx \\ &= -\log 2 + \left[ -\frac{1}{x} + \frac{1}{4} x \right]_{1}^{2} \\ &= -\log 2 + \left\{ \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) - \left( -1 + \frac{1}{4} \right) \right\} \\ &= -\log 2 + \frac{3}{4} \\ &= \frac{3}{4} - \log 2 \end{aligned}$$

解説

微積分における基本的な計算力を問う問題である。 (1)は真数条件を忘れないこと、商の微分法を正確に実行できるかがポイントである。 (2)は2曲線の交点と上下関係を正しく把握し、部分積分法を用いて最後まで計算しきる力が求められる。対数関数と多項式の積の積分では、多項式側を積分して対数関数側を微分する方針が基本である。