数学3 定積分・面積 問題 147 解説

方針・初手

(1)は三角関数の合成を用いて不等式を解く。(2)は絶対値を含む定積分である。(1)の結果を用いて積分区間における分母の符号を確認し、分子の符号によって積分区間を分割して絶対値を外す。被積分関数は、「分子 $= A \times (\text{分母}) + B \times (\text{分母の微分})$」の形に変形することで積分を実行する。

解法1

(1)

与えられた不等式の左辺を三角関数の合成を用いて変形する。

$$\sqrt{3}\cos x - \sin x = 2\left( \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin x \cdot \frac{1}{2} \right) = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$

したがって、与えられた不等式は次のように表される。

$$2\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) > 0$$

$-\pi \leqq x \leqq \pi$ より、角度のとり得る範囲は $-\frac{5}{6}\pi \leqq x + \frac{\pi}{6} \leqq \frac{7}{6}\pi$ である。 この範囲において、$\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) > 0$ となる条件は、

$$-\frac{\pi}{2} < x + \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$$

各辺から $\frac{\pi}{6}$ を引いて整理すると、求める $x$ の範囲は、

$$-\frac{2}{3}\pi < x < \frac{\pi}{3}$$

(2)

積分区間 $-\frac{\pi}{3} \leqq x \leqq \frac{\pi}{6}$ は、(1)で求めた $-\frac{2}{3}\pi < x < \frac{\pi}{3}$ の範囲に含まれている。 したがって、この積分区間において分母はつねに正である。

$$\sqrt{3}\cos x - \sin x > 0$$

分子の $4\sin x$ の符号は $x = 0$ を境に変わるため、積分区間を $x=0$ で分割して絶対値を外す。 $-\frac{\pi}{3} \leqq x \leqq 0$ のとき、$\sin x \leqq 0$ より絶対値の中身は $0$ 以下となる。 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{6}$ のとき、$\sin x \geqq 0$ より絶対値の中身は $0$ 以上となる。

次に、被積分関数の不定積分を求めるため、分子を分母とその導関数の定数倍の和で表す。 $f(x) = \sqrt{3}\cos x - \sin x$ とおくと、$f'(x) = -\sqrt{3}\sin x - \cos x$ である。 実数 $A, B$ を用いて、$4\sin x = A f(x) + B f'(x)$ とおくと、

$$4\sin x = A(\sqrt{3}\cos x - \sin x) + B(-\sqrt{3}\sin x - \cos x)$$

$$4\sin x = (-A - \sqrt{3}B)\sin x + (\sqrt{3}A - B)\cos x$$

両辺の $\sin x, \cos x$ の係数を比較して、

$$\begin{cases} -A - \sqrt{3}B = 4 \\ \sqrt{3}A - B = 0 \end{cases}$$

第2式より $B = \sqrt{3}A$。これを第1式に代入して、 $-A - 3A = 4$ より $A = -1$。 よって $B = -\sqrt{3}$ となる。 したがって、分子は次のように変形できる。

$$4\sin x = -f(x) - \sqrt{3}f'(x)$$

これより、絶対値記号のない被積分関数は次のように表される。

$$\frac{4\sin x}{f(x)} = \frac{-f(x) - \sqrt{3}f'(x)}{f(x)} = -1 - \sqrt{3}\frac{f'(x)}{f(x)}$$

よって、求める定積分 $I$ は次のように計算できる。

$$I = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{0} -\left( -1 - \sqrt{3}\frac{f'(x)}{f(x)} \right) dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left( -1 - \sqrt{3}\frac{f'(x)}{f(x)} \right) dx$$

$$I = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{0} \left( 1 + \sqrt{3}\frac{f'(x)}{f(x)} \right) dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left( -1 - \sqrt{3}\frac{f'(x)}{f(x)} \right) dx$$

それぞれの定積分を計算する。積分区間内で $f(x) > 0$ であるため、対数関数の真数はそのまま扱えることに注意する。

$$\int_{-\frac{\pi}{3}}^{0} \left( 1 + \sqrt{3}\frac{f'(x)}{f(x)} \right) dx = \Big[ x + \sqrt{3}\log f(x) \Big]_{-\frac{\pi}{3}}^{0}$$

$f(0) = \sqrt{3}\cos 0 - \sin 0 = \sqrt{3}$ $f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \sqrt{3}$ であるから、

$$\Big[ x + \sqrt{3}\log f(x) \Big]_{-\frac{\pi}{3}}^{0} = (0 + \sqrt{3}\log\sqrt{3}) - \left( -\frac{\pi}{3} + \sqrt{3}\log\sqrt{3} \right) = \frac{\pi}{3}$$

次に、後半の定積分を計算する。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left( -1 - \sqrt{3}\frac{f'(x)}{f(x)} \right) dx = \Big[ -x - \sqrt{3}\log f(x) \Big]_{0}^{\frac{\pi}{6}}$$

$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = 1$ であるから、

$$\Big[ -x - \sqrt{3}\log f(x) \Big]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \left( -\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}\log 1 \right) - (0 - \sqrt{3}\log\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}\log 3$$

これらを足し合わせて、求める定積分 $I$ は、

$$I = \frac{\pi}{3} + \left( -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}\log 3 \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}\log 3$$

解説

三角関数の定積分において、被積分関数の分母と分子がともに $\sin x, \cos x$ の1次同次式である場合の典型問題である。 (1)は単なる三角不等式であるが、(2)で積分区間において分母が常に正であることを保証する役割を担っている。 (2)の積分の要点は、分子を「$A \times (\text{分母}) + B \times (\text{分母の微分})$」の形に変形することである。これにより、積分は $\int \left( A + B\frac{f'(x)}{f(x)} \right) dx = Ax + B\log|f(x)| + C$ と容易に計算できる形に帰着される。

答え

(1)

$$-\frac{2}{3}\pi < x < \frac{\pi}{3}$$

(2)

$$\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}\log 3$$