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数学3 定積分・面積問題 148 解説

方針・初手

(1)は、被積分関数の分子が分母の微分形になっていることに気づくかどうかがポイントである。あるいは、$u = e^x$ と置換積分することでも解決できる。 (2)は、与えられた式に従って導関数と右辺を計算し、係数を比較する。 (3)、(4)は、(2)で得られた関係式を利用して次数を下げていくのが出題者の意図である。誘導に乗らずに置換積分で直接計算することも可能であるため、両方の解法を示す。

解法1

(1)

求める定積分は、

$$\int_0^{\log 7} \frac{e^x}{1+e^x} dx$$

ここで、$(1+e^x)' = e^x$ であるから、次のように計算できる。

$$\int_0^{\log 7} \frac{(1+e^x)'}{1+e^x} dx = \left[ \log(1+e^x) \right]_0^{\log 7}$$

$$= \log(1+e^{\log 7}) - \log(1+e^0)$$

$$= \log(1+7) - \log(1+1)$$

$$= \log 8 - \log 2 = 3\log 2 - \log 2 = 2\log 2$$

(2)

$f(x) = \frac{e^x}{1+e^x}$ について微分すると、商の微分法より、

$$f'(x) = \frac{e^x(1+e^x) - e^x \cdot e^x}{(1+e^x)^2} = \frac{e^x}{(1+e^x)^2}$$

また、与式の右辺を計算すると、

$$a f(x) + b \{f(x)\}^2 = a \frac{e^x}{1+e^x} + b \frac{e^{2x}}{(1+e^x)^2}$$

$$= \frac{a e^x(1+e^x) + b e^{2x}}{(1+e^x)^2}$$

$$= \frac{a e^x + (a+b) e^{2x}}{(1+e^x)^2}$$

これがすべての実数 $x$ について等しくなる条件は、分子が恒等的に等しくなることであるから、各項の係数を比較して、

$$a = 1, \quad a+b = 0$$

これを解いて、$a=1, b=-1$ を得る。

(3)

(2)の結果より、等式 $f'(x) = f(x) - \{f(x)\}^2$ が成り立つ。これを変形すると、

$$\{f(x)\}^2 = f(x) - f'(x)$$

となる。両辺を区間 $[0, \log 7]$ で積分すると、

$$\int_0^{\log 7} \{f(x)\}^2 dx = \int_0^{\log 7} f(x) dx - \int_0^{\log 7} f'(x) dx$$

ここで、右辺第1項は(1)より $2\log 2$ であり、第2項はそのまま積分できて、

$$\int_0^{\log 7} f'(x) dx = \left[ f(x) \right]_0^{\log 7} = f(\log 7) - f(0)$$

となる。それぞれの値を計算すると、

$$f(\log 7) = \frac{e^{\log 7}}{1+e^{\log 7}} = \frac{7}{1+7} = \frac{7}{8}$$

$$f(0) = \frac{e^0}{1+e^0} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$$

であるから、

$$\int_0^{\log 7} \{f(x)\}^2 dx = 2\log 2 - \left( \frac{7}{8} - \frac{1}{2} \right) = 2\log 2 - \frac{3}{8}$$

(4)

(2)で得た等式 $f'(x) = f(x) - \{f(x)\}^2$ の両辺に $f(x)$ を掛けると、

$$f(x)f'(x) = \{f(x)\}^2 - \{f(x)\}^3$$

となる。これを $\{f(x)\}^3$ について整理すると、

$$\{f(x)\}^3 = \{f(x)\}^2 - f(x)f'(x)$$

両辺を区間 $[0, \log 7]$ で積分すると、

$$\int_0^{\log 7} \{f(x)\}^3 dx = \int_0^{\log 7} \{f(x)\}^2 dx - \int_0^{\log 7} f(x)f'(x) dx$$

右辺第1項は(3)より $2\log 2 - \frac{3}{8}$ である。第2項については、合成関数の積分を用いて、

$$\int_0^{\log 7} f(x)f'(x) dx = \left[ \frac{1}{2} \{f(x)\}^2 \right]_0^{\log 7}$$

$$= \frac{1}{2} \left( \{f(\log 7)\}^2 - \{f(0)\}^2 \right)$$

$$= \frac{1}{2} \left( \left(\frac{7}{8}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \right)$$

$$= \frac{1}{2} \left( \frac{49}{64} - \frac{16}{64} \right) = \frac{33}{128}$$

よって、求める定積分は、

$$\int_0^{\log 7} \{f(x)\}^3 dx = 2\log 2 - \frac{3}{8} - \frac{33}{128} = 2\log 2 - \frac{81}{128}$$

解法2

定積分をすべて $u = e^x$ と置換して計算する方針である。 $u = e^x$ とおくと、$du = e^x dx$ より $dx = \frac{1}{u} du$ となる。積分区間は、$x$ が $0$ から $\log 7$ に変化するとき、$u$ は $1$ から $7$ に変化する。また、被積分関数の形から $f(x) = \frac{u}{1+u}$ となる。

(1)

$$\int_0^{\log 7} f(x) dx = \int_1^7 \frac{u}{1+u} \frac{1}{u} du = \int_1^7 \frac{1}{1+u} du$$

$$= \left[ \log(1+u) \right]_1^7 = \log 8 - \log 2 = 2\log 2$$

(2)

解法1と同様に計算して $a=1, b=-1$ を得る。

(3)

$$\int_0^{\log 7} \{f(x)\}^2 dx = \int_1^7 \left( \frac{u}{1+u} \right)^2 \frac{1}{u} du = \int_1^7 \frac{u}{(1+u)^2} du$$

ここで被積分関数の分子を $u = (u+1) - 1$ と変形して部分分数に分解する。

$$\int_1^7 \frac{(u+1) - 1}{(1+u)^2} du = \int_1^7 \left( \frac{1}{1+u} - \frac{1}{(1+u)^2} \right) du$$

$$= \left[ \log(1+u) + \frac{1}{1+u} \right]_1^7$$

$$= \left( \log 8 + \frac{1}{8} \right) - \left( \log 2 + \frac{1}{2} \right)$$

$$= 3\log 2 - \log 2 + \frac{1}{8} - \frac{4}{8} = 2\log 2 - \frac{3}{8}$$

(4)

$$\int_0^{\log 7} \{f(x)\}^3 dx = \int_1^7 \left( \frac{u}{1+u} \right)^3 \frac{1}{u} du = \int_1^7 \frac{u^2}{(1+u)^3} du$$

分子を $u^2 = \{(u+1)-1\}^2 = (u+1)^2 - 2(u+1) + 1$ と変形して展開する。

$$\int_1^7 \frac{(u+1)^2 - 2(u+1) + 1}{(1+u)^3} du = \int_1^7 \left( \frac{1}{1+u} - \frac{2}{(1+u)^2} + \frac{1}{(1+u)^3} \right) du$$

$$= \left[ \log(1+u) + \frac{2}{1+u} - \frac{1}{2(1+u)^2} \right]_1^7$$

上端 $7$ を代入したものから下端 $1$ を代入したものを引く。

$$= \left( \log 8 + \frac{2}{8} - \frac{1}{2 \cdot 64} \right) - \left( \log 2 + \frac{2}{2} - \frac{1}{2 \cdot 4} \right)$$

$$= \left( 3\log 2 + \frac{1}{4} - \frac{1}{128} \right) - \left( \log 2 + 1 - \frac{1}{8} \right)$$

$$= 2\log 2 - \frac{3}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{128} = 2\log 2 - \frac{96}{128} + \frac{16}{128} - \frac{1}{128} = 2\log 2 - \frac{81}{128}$$

解説

(2)の関係式が後続の設問の誘導となっている。微分関係式を用いて次数を下げることにより、高次式の積分を容易に計算させるという出題者の意図を読み取ることが重要である。また、(4)のような $\{f(x)\}^n$ の積分を求める手法は、一般項 $I_n$ についての漸化式を作る定石の一部である。一方で、解法2のように $e^x$ を丸ごと置換し、部分分数分解に持ち込む方針も計算の視通しがよく有効である。両方のアプローチを理解しておくと応用が利きやすい。