数学3 定積分・面積 問題 149 解説

方針・初手

(1)は、$f_n(x)$ が与えられた形で表されると仮定して $f_n(x)$ を微分し、$f_{n+1}(x)$ と比較することで係数 $a_n, b_n$ の漸化式を導く。その後、得られた漸化式を解いて一般項を求める。

(2)は、$f_n(x) \leqq 0$ となる $x$ の範囲を求めて積分区間を決定する。定積分の計算では、与えられた条件 $f_n(x) = f_{n-1}'(x)$ を利用して、$\int f_n(x)dx = f_{n-1}(x) + C$ とただちに積分できることに着目する。

解法1

(1)

すべての $n=0,1,2,\cdots$ について、$f_n(x) = (x^2 + a_n x + b_n)e^x$ と表せると仮定する。

条件(ii)より、$f_{n+1}(x) = f_n'(x)$ であるから、積の導関数の公式を用いて微分すると、

$$\begin{aligned} f_{n+1}(x) &= \frac{d}{dx} \left\{ (x^2 + a_n x + b_n)e^x \right\} \\ &= (2x + a_n)e^x + (x^2 + a_n x + b_n)e^x \\ &= \{ x^2 + (a_n + 2)x + (a_n + b_n) \} e^x \end{aligned}$$

となる。これより、$f_{n+1}(x)$ も $(x^2 + (\text{定数})x + (\text{定数}))e^x$ の形となり、帰納的にすべての $n$ について $f_n(x) = (x^2 + a_n x + b_n)e^x$ と表せることが示された。

同時に、係数を比較することで次の漸化式を得る。

$$\begin{aligned} a_{n+1} &= a_n + 2 \\ b_{n+1} &= a_n + b_n \end{aligned}$$

条件(i)より $f_0(x) = x^2 e^x$ であるから、$a_0 = 0, b_0 = 0$ である。

数列 $\{a_n\}$ は初項 $0$, 公差 $2$ の等差数列であるから、

$$a_n = 2n$$

次に、数列 $\{b_n\}$ の階差数列が $a_n = 2n$ であるから、$n \geqq 1$ のとき、

$$\begin{aligned} b_n &= b_0 + \sum_{k=0}^{n-1} a_k \\ &= 0 + \sum_{k=0}^{n-1} 2k \\ &= 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} \\ &= n(n-1) \end{aligned}$$

これは $n=0$ のときも $b_0 = 0$ となり成り立つ。

よって、$a_n = 2n, b_n = n(n-1)$ である。

(2)

(1) の結果より、$f_n(x) = \{ x^2 + 2nx + n(n-1) \} e^x$ である。

$n \geqq 1$ において、$f_n(x) \leqq 0$ となる $x$ の範囲を求める。

常に $e^x > 0$ であるから、

$$x^2 + 2nx + n(n-1) \leqq 0$$

$x^2 + 2nx + n(n-1) = 0$ の解は、解の公式より

$$x = -n \pm \sqrt{n^2 - n(n-1)} = -n \pm \sqrt{n}$$

$\alpha = -n - \sqrt{n}, \beta = -n + \sqrt{n}$ とおくと、$f_n(x) \leqq 0$ となる範囲は $\alpha \leqq x \leqq \beta$ である。

求める面積 $S_n$ は、

$$S_n = \int_{\alpha}^{\beta} \{ -f_n(x) \} dx$$

ここで、条件(ii)を $n-1$ に適用すると $f_n(x) = f_{n-1}'(x)$ であるから、

$$\begin{aligned} S_n &= - \int_{\alpha}^{\beta} f_{n-1}'(x) dx \\ &= - \left[ f_{n-1}(x) \right]_{\alpha}^{\beta} \\ &= f_{n-1}(\alpha) - f_{n-1}(\beta) \end{aligned}$$

となる。

(1)より $f_{n-1}(x) = \{ x^2 + 2(n-1)x + (n-1)(n-2) \} e^x$ である。

$x = \alpha, \beta$ は方程式 $x^2 + 2nx + n(n-1) = 0$ の解であるから、$x^2 = -2nx - n(n-1)$ が成り立つ。これを $f_{n-1}(x)$ の多項式部分に代入して次数を下げる。

$$\begin{aligned} &x^2 + 2(n-1)x + (n-1)(n-2) \\ &= -2nx - n^2 + n + 2nx - 2x + n^2 - 3n + 2 \\ &= -2x - 2n + 2 \\ &= -2(x + n - 1) \end{aligned}$$

ゆえに、$x = \alpha, \beta$ のとき、$f_{n-1}(x) = -2(x + n - 1)e^x$ となる。

$$\begin{aligned} f_{n-1}(\alpha) &= -2(-n - \sqrt{n} + n - 1)e^{-n-\sqrt{n}} \\ &= 2(\sqrt{n} + 1)e^{-n-\sqrt{n}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} f_{n-1}(\beta) &= -2(-n + \sqrt{n} + n - 1)e^{-n+\sqrt{n}} \\ &= -2(\sqrt{n} - 1)e^{-n+\sqrt{n}} \end{aligned}$$

したがって、求める面積 $S_n$ は、

$$\begin{aligned} S_n &= 2(\sqrt{n} + 1)e^{-n-\sqrt{n}} - \left\{ -2(\sqrt{n} - 1)e^{-n+\sqrt{n}} \right\} \\ &= 2(\sqrt{n} + 1)e^{-n-\sqrt{n}} + 2(\sqrt{n} - 1)e^{-n+\sqrt{n}} \end{aligned}$$

となる。

解説

関数の列に関する漸化式と定積分を組み合わせた標準的な問題である。

(1)では、積の導関数を用いて係数の漸化式を立式し、等差数列および階差数列の基本性質を利用して一般項を求める。

(2)の積分計算では、まともに $f_n(x)$ を部分積分で計算して求めることも可能だが、与えられた条件 $f_n(x) = f_{n-1}'(x)$ を見逃さず、「微分の逆演算」として直ちに積分を実行できるかどうかが計算量削減の鍵となる。また、値を代入する際に $x^2+2nx+n(n-1)=0$ を用いて次数下げを行うと、計算ミスを大きく減らすことができる。

答え

(1)

$a_n = 2n$

$b_n = n(n-1)$

(2)

$S_n = 2(\sqrt{n} + 1)e^{-n-\sqrt{n}} + 2(\sqrt{n} - 1)e^{-n+\sqrt{n}}$