数学3 定積分・面積 問題 151 解説

方針・初手

合成関数の微分法および積の微分法を正しく用いて、順に計算を実行しアとイを求める。 ウについては、アとイで得られた導関数の式を連立させるように組み合わせることで、被積分関数である $\sqrt{4x^2+1}$ を何らかの関数の微分として表し、定積分を計算する。

解法1

アの導出

合成関数の微分法より、次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx} \log(2x + \sqrt{4x^2+1}) &= \frac{1}{2x + \sqrt{4x^2+1}} \cdot \frac{d}{dx} (2x + \sqrt{4x^2+1}) \\ &= \frac{1}{2x + \sqrt{4x^2+1}} \cdot \left( 2 + \frac{8x}{2\sqrt{4x^2+1}} \right) \\ &= \frac{1}{2x + \sqrt{4x^2+1}} \cdot \left( 2 + \frac{4x}{\sqrt{4x^2+1}} \right) \\ &= \frac{1}{2x + \sqrt{4x^2+1}} \cdot \frac{2\sqrt{4x^2+1} + 4x}{\sqrt{4x^2+1}} \\ &= \frac{1}{2x + \sqrt{4x^2+1}} \cdot \frac{2(2x + \sqrt{4x^2+1})}{\sqrt{4x^2+1}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{4x^2+1}} \end{aligned}$$

上式を問題文の式と比較して、ア $= 2$ である。

イの導出

積の微分法と合成関数の微分法を用いる。

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx} (x \sqrt{4x^2+1}) &= 1 \cdot \sqrt{4x^2+1} + x \cdot \frac{8x}{2\sqrt{4x^2+1}} \\ &= \sqrt{4x^2+1} + \frac{4x^2}{\sqrt{4x^2+1}} \end{aligned}$$

ここから、問題文で与えられた形に変形していく。分子の次数を下げる工夫をする。

$$\begin{aligned} \sqrt{4x^2+1} + \frac{4x^2}{\sqrt{4x^2+1}} &= \sqrt{4x^2+1} + \frac{(4x^2+1) - 1}{\sqrt{4x^2+1}} \\ &= \sqrt{4x^2+1} + \sqrt{4x^2+1} - \frac{1}{\sqrt{4x^2+1}} \\ &= 2\sqrt{4x^2+1} - \frac{1}{\sqrt{4x^2+1}} \end{aligned}$$

上式を問題文の式と比較して、イ $= 1$ である。

ウの導出

アとイの結果から、以下の2つの恒等式が成り立つ。

$$\frac{d}{dx} \log(2x + \sqrt{4x^2+1}) = \frac{2}{\sqrt{4x^2+1}}$$

$$\frac{d}{dx}(x \sqrt{4x^2+1}) = 2\sqrt{4x^2+1} - \frac{1}{\sqrt{4x^2+1}}$$

1つ目の式を変形して、$\frac{1}{\sqrt{4x^2+1}}$ について解く。

$$\frac{1}{\sqrt{4x^2+1}} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx} \log(2x + \sqrt{4x^2+1})$$

これを2つ目の式に代入する。

$$\frac{d}{dx}(x \sqrt{4x^2+1}) = 2\sqrt{4x^2+1} - \frac{1}{2} \frac{d}{dx} \log(2x + \sqrt{4x^2+1})$$

整理して、被積分関数である $\sqrt{4x^2+1}$ を微分記号の形で表す。

$$\begin{aligned} 2\sqrt{4x^2+1} &= \frac{d}{dx}(x \sqrt{4x^2+1}) + \frac{1}{2} \frac{d}{dx} \log(2x + \sqrt{4x^2+1}) \\ \sqrt{4x^2+1} &= \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(x \sqrt{4x^2+1}) + \frac{1}{4} \frac{d}{dx} \log(2x + \sqrt{4x^2+1}) \\ \sqrt{4x^2+1} &= \frac{d}{dx} \left\{ \frac{1}{2} x \sqrt{4x^2+1} + \frac{1}{4} \log(2x + \sqrt{4x^2+1}) \right\} \end{aligned}$$

したがって、求める定積分は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \int_0^1 \sqrt{4x^2+1} dx &= \left[ \frac{1}{2} x \sqrt{4x^2+1} + \frac{1}{4} \log(2x + \sqrt{4x^2+1}) \right]_0^1 \\ &= \left( \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + \frac{1}{4} \log(2 + \sqrt{5}) \right) - \left( 0 + \frac{1}{4} \log(1) \right) \\ &= \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4} \log(2 + \sqrt{5}) \end{aligned}$$

解説

$\int \sqrt{x^2+A} dx$ の形の無理関数の積分を求めるための代表的な誘導問題である。 通常、この形の積分は $x \sqrt{x^2+A}$ を微分して部分積分と同様の漸化式を立てて解くか、$x = \frac{1}{2}\left(t - \frac{A}{t}\right)$ のような特殊な置換を用いる方法があるが、本問のようにあらかじめ $\log$ の形と $x \sqrt{4x^2+1}$ の導関数を用意させ、それらの線形結合によって被積分関数の原始関数を逆算させる手法は頻出である。誘導の意図を正しく汲み取れるかが鍵となる。

答え

ア：$2$

イ：$1$

ウ：$\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4} \log(2 + \sqrt{5})$