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数学3 定積分・面積問題 153 解説

方針・初手

積分区間がすべて定数であるため、各定積分は定数となる。問題文の誘導にある通り、$f(x)$ に含まれる変数 $x$ の部分は $e^{2x}$ のみであることから、$f(x) = Ae^{2x} + B$ ($A, B$ は定数)とおくことができる。あとはそれぞれの定積分を具体的に計算し、元の式に代入して恒等式として係数を比較することで $A, B$ を決定する。

解法1

まず、$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin^2 (\pi y) dy$ を計算する。半角の公式を用いる。

$$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin^2 (\pi y) dy = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1 - \cos(2\pi y)}{2} dy$$

$$= \frac{1}{2} \left[ y - \frac{\sin(2\pi y)}{2\pi} \right]_{0}^{\frac{1}{2}}$$

$$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{1}{4}$$

これにより、[エ] は $\frac{1}{4}$ である。

次に、$f(x) = Ae^{2x} + B$ とおいて定積分をそれぞれ計算する。

$$\int_{0}^{1} e^{-y} f(y) dy = \int_{0}^{1} e^{-y} (Ae^{2y} + B) dy$$

$$= \int_{0}^{1} (Ae^{y} + Be^{-y}) dy$$

$$= \left[ Ae^{y} - Be^{-y} \right]_{0}^{1}$$

$$= (Ae - Be^{-1}) - (A - B)$$

$$= (e - 1)A + \left(1 - \frac{1}{e}\right)B$$

$$= (e - 1)A + \frac{e - 1}{e} B$$

これにより、[オ] は $e - 1$、[カ] は $\frac{e - 1}{e}$ （または $1 - e^{-1}$ など）となる。

もう一つの定積分を計算する。

$$\int_{0}^{\frac{1}{2}} f(y) dy = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (Ae^{2y} + B) dy$$

$$= \left[ \frac{A}{2} e^{2y} + By \right]_{0}^{\frac{1}{2}}$$

$$= \left( \frac{A}{2} e + \frac{B}{2} \right) - \left( \frac{A}{2} + 0 \right)$$

$$= \frac{e - 1}{2} A + \frac{1}{2} B$$

これにより、[キ] は $\frac{e - 1}{2}$、[ク] は $\frac{1}{2}$ となる。

求めた値を元の関係式に代入する。

$$f(x) = \frac{e^{2x}}{2(e-1)} \left\{ (e-1)A + \frac{e-1}{e} B \right\} + \left( \frac{e - 1}{2} A + \frac{1}{2} B \right) + \frac{1}{4}$$

$$= \left( \frac{1}{2} A + \frac{1}{2e} B \right) e^{2x} + \frac{e-1}{2} A + \frac{1}{2} B + \frac{1}{4}$$

これが $f(x) = Ae^{2x} + B$ と恒等的に等しくなるため、係数を比較する。

$$A = \frac{1}{2} A + \frac{1}{2e} B \quad \cdots \text{①}$$

$$B = \frac{e-1}{2} A + \frac{1}{2} B + \frac{1}{4} \quad \cdots \text{②}$$

①より、

$$\frac{1}{2} A = \frac{1}{2e} B$$

$$B = eA \quad \cdots \text{①}'$$

②より、

$$\frac{1}{2} B = \frac{e-1}{2} A + \frac{1}{4}$$

$$B = (e-1)A + \frac{1}{2} \quad \cdots \text{②}'$$

①$'$ を ②$'$ に代入する。

$$eA = (e-1)A + \frac{1}{2}$$

$$eA = eA - A + \frac{1}{2}$$

$$A = \frac{1}{2}$$

これを ①$'$ に代入して、

$$B = \frac{e}{2}$$

したがって、[ケ] は $\frac{1}{2}$、[コ] は $\frac{e}{2}$ となる。

解説

積分区間が定数である定積分を定数でおきかえて関数を決定する、数学IIIの微積分における典型問題である。本問では自ら定数でおく必要がなく、誘導として形が与えられているため、計算の実行に集中できる。三角関数の積分における半角の公式の利用、指数関数の積分、および定数項と係数の比較といった基本的な操作をミスなく行うことが求められる。