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数学3 定積分・面積問題 154 解説

方針・初手

与えられた2曲線の交点の $x$ 座標を新たな文字 $\alpha$ でおき、$\sin \alpha$ と $\cos \alpha$ を $a$ を用いて表す。その後、定積分によって面積 $S$ と $T$ を求め、与えられた条件 $S:T = 3:1$ から方程式を導いて解く。

解法1

曲線 $y = \sin x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ は、

$$S = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = \Big[ -\cos x \Big]_{0}^{\pi} = -(-1 - 1) = 2$$

条件 $S:T = 3:1$ より、

$$T = \frac{1}{3}S = \frac{2}{3}$$

である。

次に、曲線 $y = \sin x \ \left(0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}\right)$ と曲線 $y = a \cos x \ \left(0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}\right)$ の交点の $x$ 座標を求める。

$\sin x = a \cos x$ より、

$$\tan x = a$$

$a > 0$ であるから、この方程式は $0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲にただ1つの解をもつ。これを $\alpha$ とおくと、$\tan \alpha = a$ であり、

$$\sin \alpha = \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}, \quad \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$$

となる。

面積 $T$ を表す図形は、$0 \leqq x \leqq \alpha$ の範囲では $y = \sin x$ と $x$ 軸に、$\alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲では $y = a \cos x$ と $x$ 軸に囲まれているから、

$$\begin{aligned} T &= \int_{0}^{\alpha} \sin x \, dx + \int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}} a \cos x \, dx \\ &= \Big[ -\cos x \Big]_{0}^{\alpha} + \Big[ a \sin x \Big]_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= (-\cos \alpha + 1) + (a - a \sin \alpha) \\ &= a + 1 - (\cos \alpha + a \sin \alpha) \end{aligned}$$

これに先ほど求めた $\sin \alpha, \cos \alpha$ の値を代入すると、

$$\begin{aligned} T &= a + 1 - \left( \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} + a \cdot \frac{a}{\sqrt{1+a^2}} \right) \\ &= a + 1 - \frac{1+a^2}{\sqrt{1+a^2}} \\ &= a + 1 - \sqrt{1+a^2} \end{aligned}$$

$T = \frac{2}{3}$ であるから、

$$a + 1 - \sqrt{1+a^2} = \frac{2}{3}$$

根号を含む項を分離して整理すると、

$$a + \frac{1}{3} = \sqrt{1+a^2}$$

$a > 0$ より左辺は $a + \frac{1}{3} > 0$ であるから、両辺を2乗しても同値性は崩れない。両辺を2乗して、

$$\left( a + \frac{1}{3} \right)^2 = 1 + a^2$$

$$a^2 + \frac{2}{3}a + \frac{1}{9} = a^2 + 1$$

$$\frac{2}{3}a = \frac{8}{9}$$

$$a = \frac{4}{3}$$

これは $a > 0$ を満たす。