数学3 定積分・面積 問題 155 解説

方針・初手

• 定積分で定義された関数 $F(x)$ の導関数 $F'(x)$ を求めるため、微積分学の基本定理を用いる。
• 定積分 $\int_{a}^x f(t)dt$ の微分が $f(x)$ となること、および合成関数の微分を利用して $F'(x)$ を計算する。
• 与えられた方程式 $f(x)-f(x-\pi)=e^{2x}\sin x$ を活用して $F'(x)$ を簡単な形に表す。
• $F(x)$ を求める際は、$F'(x)$ の不定積分を計算し、(2) で求めた $F(0)$ の値を用いて積分定数を決定する。

解法1

(1)

$$F(x) = \int_{x-\pi}^x f(t) dt = \int_{0}^x f(t) dt - \int_{0}^{x-\pi} f(t) dt$$

両辺を $x$ で微分すると、微積分学の基本定理および合成関数の微分より、

$$F'(x) = f(x) - f(x-\pi) \cdot (x-\pi)' = f(x) - f(x-\pi)$$

となる。 ここで、問題の条件より $x \geqq 0$ のとき、

$$f(x) - f(x-\pi) = e^{2x} \sin x$$

である。 また、$x < 0$ のとき、$x < 0$ かつ $x-\pi < 0$ であり、条件より $f(x)=0$ かつ $f(x-\pi)=0$ であるから、

$$f(x) - f(x-\pi) = 0$$

となる。 したがって、求める導関数は以下の通りである。

$$F'(x) = \begin{cases} e^{2x} \sin x & (x \geqq 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases}$$

(2)

定義より、$x=0$ を代入すると、

$$F(0) = \int_{-\pi}^0 f(t) dt$$

となる。 問題の条件より、$t \leqq 0$ において $f(t) = 0$ であるから、積分区間 $[-\pi, 0]$ において常に $f(t) = 0$ となる。 したがって、

$$F(0) = \int_{-\pi}^0 0 dt = 0$$

である。

(3)

(1) の結果より、$x \geqq 0$ においては $F'(x) = e^{2x} \sin x$ である。 これを積分して $F(x)$ を求める。

$$F(x) = \int e^{2x} \sin x dx$$

部分積分法を用いて不定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int e^{2x} \sin x dx &= \int \left( \frac{1}{2} e^{2x} \right)' \sin x dx \\ &= \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \int \frac{1}{2} e^{2x} (\sin x)' dx \\ &= \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x dx \\ &= \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{2} e^{2x} \right)' \cos x dx \\ &= \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} e^{2x} \cos x - \int \frac{1}{2} e^{2x} (\cos x)' dx \right) \\ &= \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x - \frac{1}{4} \int e^{2x} \sin x dx \end{aligned}$$

ゆえに、両辺に $\frac{1}{4} \int e^{2x} \sin x dx$ を加えて整理すると、

$$\frac{5}{4} \int e^{2x} \sin x dx = \frac{1}{4} e^{2x} (2\sin x - \cos x) + C' \quad (C'\text{は積分定数})$$

$$\int e^{2x} \sin x dx = \frac{1}{5} e^{2x} (2\sin x - \cos x) + C \quad \left(C = \frac{4}{5}C'\right)$$

となる。 よって、$x \geqq 0$ において、$C$ を積分定数として、

$$F(x) = \frac{1}{5} e^{2x} (2\sin x - \cos x) + C$$

と表される。 関数 $f(t)$ は連続関数であるから、その定積分で定義される $F(x)$ もすべての実数 $x$ で微分可能であり、連続関数である。 したがって、(2) の結果 $F(0) = 0$ を用いると、

$$F(0) = \frac{1}{5} e^0 (2\sin 0 - \cos 0) + C = 0$$

$$-\frac{1}{5} + C = 0 \iff C = \frac{1}{5}$$

と求まる。 ゆえに、$x \geqq 0$ において、

$$F(x) = \frac{1}{5} e^{2x} (2\sin x - \cos x) + \frac{1}{5}$$

となる。

解説

• 積分区間に変数を含む関数の微分を利用する標準的な問題である。$\frac{d}{dx} \int_{g(x)}^{h(x)} f(t)dt = f(h(x))h'(x) - f(g(x))g'(x)$ の公式を正しく使えるかが問われている。
• 指数関数と三角関数の積の積分は、部分積分を2回繰り返して元の積分と同じ形を作り出し、方程式を解くようにして求めるのが定石である。符号のミスに気をつけたい。
• 不定積分を求めた後、初期条件を利用して積分定数を決定する流れも微積分における典型的な処理である。

答え

(1)

$$F'(x) = \begin{cases} e^{2x} \sin x & (x \geqq 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases}$$

(2)

$$F(0) = 0$$

(3)

$$F(x) = \frac{1}{5} e^{2x} (2\sin x - \cos x) + \frac{1}{5}$$