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数学3 定積分・面積問題 157 解説

方針・初手

(1) 2つの関数 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の式を等置して方程式を解き、共有点の $x$ 座標を求める。

(2) それぞれの関数を微分して導関数を求め、符号の変化から増減表を作成する。与えられた極限の情報を用いて、漸近線なども考慮しながらグラフの特徴を捉える。

(3) (1) と (2) の結果から、指定された区間における2曲線の上下関係を把握し、面積を表す定積分の式を立てて計算する。対数関数を含む関数の積分は、置換積分法や部分積分法を用いる。

解法1

(1)

2曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の共有点の $x$ 座標は、方程式 $f(x) = g(x)$ の実数解である。

$$\frac{\log x}{x} = \frac{2\log x}{x^2}$$

$x > 0$ であるから、両辺に $x^2$ を掛けて整理する。

$$x\log x = 2\log x$$

$$(x - 2)\log x = 0$$

よって、$x - 2 = 0$ または $\log x = 0$ となり、$x = 1, 2$ を得る。

$x = 1$ のとき、$y = \frac{\log 1}{1} = 0$ である。 $x = 2$ のとき、$y = \frac{\log 2}{2}$ である。

したがって、求める共有点の座標は以下の通りである。

$$(1, 0), \left(2, \frac{\log 2}{2}\right)$$

(2)

関数 $f(x)$ と $g(x)$ の導関数を計算する。

$$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$$

$$g'(x) = \frac{\frac{2}{x} \cdot x^2 - 2\log x \cdot 2x}{x^4} = \frac{2x - 4x\log x}{x^4} = \frac{2(1 - 2\log x)}{x^3}$$

$f'(x) = 0$ となるのは $\log x = 1$ すなわち $x = e$ のときである。 $g'(x) = 0$ となるのは $\log x = \frac{1}{2}$ すなわち $x = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$ のときである。

極限について調べる。$x \to +0$ のとき $\log x \to -\infty$ であり、$x \to \infty$ の極限は問題文で与えられている通りであるから、以下のようになる。

$$\lim_{x \to +0} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to \infty} f(x) = 0$$

$$\lim_{x \to +0} g(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2}{x} \cdot \frac{\log x}{x} \right) = 0$$

また、$1 < \sqrt{e} < 2 < e$ であることに注意して、増減表をまとめると以下のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$\sqrt{e}$	$\cdots$	$2$	$\cdots$	$e$	$\cdots$
$f'(x)$		$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$(-\infty)$	$\nearrow$	$\frac{1}{2\sqrt{e}}$	$\nearrow$	$\frac{\log 2}{2}$	$\nearrow$	極大	$\searrow$
$g'(x)$		$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$
$g(x)$	$(-\infty)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$\frac{\log 2}{2}$	$\searrow$	$\frac{2}{e^2}$	$\searrow$

増減表より、極値は以下の通りである。

$f(x)$ は $x = e$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとり、極小値はもたない。
$g(x)$ は $x = \sqrt{e}$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとり、極小値はもたない。

グラフの概形は、上記の増減表と以下の特徴をもつ曲線となる。

$y$ 軸を漸近線として、第4象限から立ち上がる。
$x = 1$ で両方のグラフが $x$ 軸と交わる。
区間 $1 < x < 2$ においては $g(x) > f(x)$ である。
$x = 2$ で交差し、区間 $x > 2$ においては $f(x) > g(x)$ である。
$x$ 軸を漸近線として $0$ に収束する。

(3)

区間 $1 \leqq x \leqq e$ において、(2) の考察より、$1 \leqq x \leqq 2$ のとき $g(x) \geqq f(x)$ であり、$2 \leqq x \leqq e$ のとき $f(x) \geqq g(x)$ である。したがって、求める面積 $S$ は次のように表される。

$$S = \int_{1}^{2} \{ g(x) - f(x) \} dx + \int_{2}^{e} \{ f(x) - g(x) \} dx$$

ここで、不定積分 $\int f(x) dx$ と $\int g(x) dx$ をそれぞれ計算しておく。

$$\int f(x) dx = \int \frac{1}{x} \log x dx = \frac{1}{2} (\log x)^2 + C_1$$

$$\int g(x) dx = \int \frac{2\log x}{x^2} dx = \int 2\log x \cdot \left( -\frac{1}{x} \right)' dx$$

部分積分法を用いて計算する。

$$\int g(x) dx = -\frac{2\log x}{x} - \int \left( \frac{2}{x} \cdot \left( -\frac{1}{x} \right) \right) dx = -\frac{2\log x}{x} + \int \frac{2}{x^2} dx = -\frac{2\log x}{x} - \frac{2}{x} + C_2$$

（$C_1, C_2$ は積分定数）

これらを用いて、それぞれの定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_{1}^{2} \{ g(x) - f(x) \} dx &= \left[ -\frac{2\log x}{x} - \frac{2}{x} - \frac{1}{2}(\log x)^2 \right]_{1}^{2} \\ &= \left( -\log 2 - 1 - \frac{1}{2}(\log 2)^2 \right) - \left( 0 - 2 - 0 \right) \\ &= 1 - \log 2 - \frac{1}{2}(\log 2)^2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_{2}^{e} \{ f(x) - g(x) \} dx &= \left[ \frac{1}{2}(\log x)^2 + \frac{2\log x}{x} + \frac{2}{x} \right]_{2}^{e} \\ &= \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{e} + \frac{2}{e} \right) - \left( \frac{1}{2}(\log 2)^2 + \log 2 + 1 \right) \\ &= \frac{4}{e} - \frac{1}{2} - \log 2 - \frac{1}{2}(\log 2)^2 \end{aligned}$$

したがって、求める面積 $S$ は以下のようになる。

$$\begin{aligned} S &= \left( 1 - \log 2 - \frac{1}{2}(\log 2)^2 \right) + \left( \frac{4}{e} - \frac{1}{2} - \log 2 - \frac{1}{2}(\log 2)^2 \right) \\ &= \frac{4}{e} + \frac{1}{2} - 2\log 2 - (\log 2)^2 \end{aligned}$$

解説

関数のグラフと面積に関する標準的な問題である。 (1) と (2) は基本的な微分の計算と極限の処理であり、ミスなく処理したい。対数関数が含まれるため、定義域 $x > 0$ を常に意識する。 (3) においては、交点 $x=2$ を境にして2曲線の上下関係が入れ替わることに気づけるかが最大のポイントである。増減表を丁寧に書いていれば、この上下関係は自然と見えてくるはずである。また、面積計算の定積分では、$\frac{\log x}{x}$ や $\frac{\log x}{x^2}$ の積分を正確に実行する計算力が求められる。置換積分や部分積分の基本がしっかりと身についているかを確認できる良問である。