数学3 定積分・面積 問題 158 解説

方針・初手

(1) 媒介変数表示された関数の最大値・最小値問題である。$y$ の式に根号が含まれているため、そのまま微分して増減を調べてもよいが、$y$ の符号に着目して $y^2$ の最大値を考えると計算が大きく簡略化できる。微分の場合は合成関数の微分に注意し、三角関数の加法定理を用いて式を整理する。

(2) 曲線 $C$ の対称性を調べ、積分区間を決定する。直交座標のまま置換積分を行う方法と、極座標表示に直して扇形の面積の積分公式を用いる方法がある。極座標表示を利用すると計算量が大幅に減る。

解法1

(1)

与えられた媒介変数表示は以下の通りである。

$$x = \sqrt{\cos 2t} \cos t$$

$$y = \sqrt{\cos 2t} \sin t$$

ここで、$t$ の範囲は $-\frac{\pi}{4} \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$ であり、この範囲において $\cos 2t \geqq 0$、$x \geqq 0$ である。

$y$ は $t=0$ の前後で符号を変え、$t \geqq 0$ のとき $y \geqq 0$ となる。

$y$ が最大となるのは $y \geqq 0$ のときであり、このとき $y^2$ も最大となる。したがって $0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$ の範囲で $y^2$ の最大値を考える。

$$y^2 = \cos 2t \sin^2 t = (1 - 2\sin^2 t)\sin^2 t$$

$\sin^2 t = s$ とおくと、$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$ より $0 \leqq s \leqq \frac{1}{2}$ である。これを $s$ の関数 $f(s)$ とおくと、

$$f(s) = (1 - 2s)s = -2s^2 + s = -2\left(s - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{8}$$

よって、$f(s)$ は $s = \frac{1}{4}$ のとき最大値 $\frac{1}{8}$ をとる。

$s = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin t > 0$ より $\sin t = \frac{1}{2}$ となり、$t = \frac{\pi}{6}$ である。これは $0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$ を満たす。

このとき、$y = \sqrt{y^2}$ より $y$ の最大値は $\sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ である。

そのときの $x$ は、

$$x = \sqrt{\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)} \cos\frac{\pi}{6} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$$

(2)

曲線 $C$ は、$x(-t) = x(t)$、$y(-t) = -y(t)$ を満たすため、$x$ 軸に関して対称である。

また、$t = \pm \frac{\pi}{4}$ のとき $(x, y) = (0, 0)$ であり、$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$ の範囲において $x \geqq 0, y \geqq 0$ である。

したがって、曲線 $C$ で囲まれた図形の面積を $S$ とすると、$S$ は第1象限にある部分の面積の2倍となる。

第1象限における $x$ の増減を調べるために $x$ を $t$ で微分する。

$$\frac{dx}{dt} = \frac{-2\sin 2t}{2\sqrt{\cos 2t}} \cos t + \sqrt{\cos 2t} (-\sin t) = \frac{-\sin 2t \cos t - \cos 2t \sin t}{\sqrt{\cos 2t}} = \frac{-\sin 3t}{\sqrt{\cos 2t}}$$

$0 < t < \frac{\pi}{4}$ において $\frac{dx}{dt} < 0$ であるため、$x$ は単調に減少する。

$t=0$ のとき $x=1$、$t=\frac{\pi}{4}$ のとき $x=0$ である。

求める面積 $S$ は、

$$S = 2 \int_{0}^{1} y dx$$

置換積分法により $dx = \frac{dx}{dt} dt$ を用いると、積分の下端と上端は $\frac{\pi}{4}$ から $0$ に対応するため、

$$S = 2 \int_{\pi/4}^{0} y \frac{dx}{dt} dt = 2 \int_{0}^{\pi/4} y \left( -\frac{dx}{dt} \right) dt$$

$$S = 2 \int_{0}^{\pi/4} \left( \sqrt{\cos 2t} \sin t \right) \left( \frac{\sin 3t}{\sqrt{\cos 2t}} \right) dt = 2 \int_{0}^{\pi/4} \sin t \sin 3t dt$$

積和の公式 $\sin A \sin B = -\frac{1}{2}\{\cos(A+B) - \cos(A-B)\}$ を用いると、

$$S = 2 \int_{0}^{\pi/4} \frac{-\cos 4t + \cos 2t}{2} dt = \int_{0}^{\pi/4} (-\cos 4t + \cos 2t) dt$$

$$S = \left[ -\frac{1}{4}\sin 4t + \frac{1}{2}\sin 2t \right]_{0}^{\pi/4} = \left( -\frac{1}{4}\sin \pi + \frac{1}{2}\sin \frac{\pi}{2} \right) - 0 = \frac{1}{2}$$

解法2

(1)

$y$ を $t$ で直接微分して増減を調べる。

$$\frac{dy}{dt} = \frac{-2\sin 2t}{2\sqrt{\cos 2t}} \sin t + \sqrt{\cos 2t} \cos t = \frac{-\sin 2t \sin t + \cos 2t \cos t}{\sqrt{\cos 2t}} = \frac{\cos 3t}{\sqrt{\cos 2t}}$$

$-\frac{\pi}{4} \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$ の範囲で $\frac{dy}{dt} = 0$ となる $t$ を求める。

$-\frac{3\pi}{4} \leqq 3t \leqq \frac{3\pi}{4}$ であるから、$3t = \pm \frac{\pi}{2}$、すなわち $t = \pm \frac{\pi}{6}$ である。

$t$ の前後での $\frac{dy}{dt}$ の符号変化を調べると、$t = \frac{\pi}{6}$ で極大かつ最大となることがわかる。

このとき、最大値は、

$$y = \sqrt{\cos\frac{\pi}{3}} \sin\frac{\pi}{6} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

そのときの $x$ は、

$$x = \sqrt{\cos\frac{\pi}{3}} \cos\frac{\pi}{6} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$$

(2)

極座標を用いて面積を求める。

曲線 $C$ 上の点 $(x,y)$ の原点からの距離を $r$ とすると、

$$r^2 = x^2 + y^2 = \cos 2t \cos^2 t + \cos 2t \sin^2 t = \cos 2t (\cos^2 t + \sin^2 t) = \cos 2t$$

また、$\cos t \neq 0$ のとき、

$$\frac{y}{x} = \frac{\sqrt{\cos 2t} \sin t}{\sqrt{\cos 2t} \cos t} = \tan t$$

となるため、動径のなす角 $\theta$ は $\theta = t$ と表せる。

よって、曲線 $C$ の極方程式は $r^2 = \cos 2\theta$ （$-\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$）となる。

これはレムニスケートの右半分のループを表す。

求める面積 $S$ は扇形の面積の積分公式 $S = \frac{1}{2} \int r^2 d\theta$ を用いて計算できる。

$$S = \frac{1}{2} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} r^2 d\theta = \frac{1}{2} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos 2\theta d\theta$$

$$S = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}\sin 2\theta \right]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \frac{1}{4} \left( \sin\frac{\pi}{2} - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) = \frac{1}{4} (1 - (-1)) = \frac{1}{2}$$

解説

この曲線 $C$ はレムニスケート（連珠形）と呼ばれる有名な曲線の右半分である。

(1) ではルートを含む関数の微分を避けるために $y^2$ を考える方法が有効である。微分の計算を行う場合も、分子に現れる式を加法定理の逆を利用して $\cos 3t$ とまとめることで、その後の処理が非常に楽になる。

(2) は $x$ 軸対称性から積分区間を第1象限に絞って定積分を計算するのが標準的だが、置換積分時の積分区間の変化や負号の扱いに注意が必要である。また、極座標表示に変換すると定積分の計算量が大幅に削減されるため、解法2の手法を身につけておくと見通しよく解答できる。

答え

(1) $y$ の最大値：$\frac{\sqrt{2}}{4}$

そのときの $x$：$\frac{\sqrt{6}}{4}$

(2) $\frac{1}{2}$