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数学3 定積分・面積問題 159 解説

方針・初手

三角関数のグラフで囲まれた面積を積分を用いて計算する、標準的な微積分と方程式の問題である。交点の $x$ 座標が具体的に求まらない場合は、文字 $\alpha$ や $\beta$ で置き、三角比の相互関係を用いて面積計算を進めるのが定石である。

解法1

(1)

図形 $K$ は $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において、曲線 $C_1 : y = \cos x$ と $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれた部分である。したがって、求める面積は

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx = \left[ \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1$$

となる。

(2)

$m = \sqrt{3}$ のとき、$C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標は方程式 $\cos x = \sqrt{3} \sin x$ を満たす。 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において $\cos x = 0$ となる $x = \frac{\pi}{2}$ はこの方程式を満たさないため、$\cos x \neq 0$ である。両辺を $\cos x$ で割ると

$$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

となる。$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ より、交点の $x$ 座標は

$$x = \frac{\pi}{6}$$

である。

(3)

$x = \alpha$ は $C_1$ と $C_2$ の交点であるから

$$\cos \alpha = m \sin \alpha$$

を満たす。両辺を2乗して $\cos^2 \alpha = m^2 \sin^2 \alpha$ とし、$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ を代入すると

$$1 - \sin^2 \alpha = m^2 \sin^2 \alpha$$

$$(m^2 + 1) \sin^2 \alpha = 1$$

$$\sin^2 \alpha = \frac{1}{m^2 + 1}$$

となる。$m > 0$ であり、交点は $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ にあるため $\sin \alpha \geqq 0$、$\cos \alpha \geqq 0$ である。したがって

$$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}$$

となる。これを最初の式に代入して

$$\cos \alpha = m \sin \alpha = \frac{m}{\sqrt{m^2 + 1}}$$

である。

(4)

$0 \leqq x \leqq \alpha$ の範囲において $C_1$ と $C_2$ の上下関係を考える。 $x = 0$ のとき、$C_1$ は $y = \cos 0 = 1$、$C_2$ は $y = m \sin 0 = 0$ であるため、$C_1$ が上にある。したがって、求める面積を $S_1$ とすると

$$S_1 = \int_0^\alpha (\cos x - m \sin x) \,dx$$

$$S_1 = \left[ \sin x + m \cos x \right]_0^\alpha$$

$$S_1 = (\sin \alpha + m \cos \alpha) - (0 + m)$$

となる。(3) の結果を代入すると

$$S_1 = \frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}} + m \cdot \frac{m}{\sqrt{m^2 + 1}} - m$$

$$S_1 = \frac{m^2 + 1}{\sqrt{m^2 + 1}} - m = \sqrt{m^2 + 1} - m$$

である。

(5)

$C_2$ は原点を通り、区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ で単調増加する曲線である。 $C_2$ が図形 $K$ を2等分するということは、(4) で求めた $C_1, C_2$ および $y$ 軸で囲まれた面積 $S_1$ が、(1) で求めた $K$ の面積の半分になることと同値である。したがって

$$\sqrt{m^2 + 1} - m = \frac{1}{2}$$

$$\sqrt{m^2 + 1} = m + \frac{1}{2}$$

が成り立つ。$m > 0$ より両辺ともに正であるから、両辺を2乗して同値変形すると

$$m^2 + 1 = m^2 + m + \frac{1}{4}$$

$$m = \frac{3}{4}$$

となる。これは $m > 0$ を満たす。

(6)

$m = \frac{3}{4}$ のとき、2曲線は $C_1' : y = \cos x$、$C_2' : y = \frac{3}{4} \sin x$ である。交点の $x$ 座標は $\cos x = \frac{3}{4} \sin x$ を満たし、両辺を $\cos x \neq 0$ で割ることで $\tan x = \frac{4}{3}$ となる。 $0 \leqq x \leqq 2\pi$ におけるこの方程式の解を $\beta_1, \beta_2$ （$0 < \beta_1 < \frac{\pi}{2} < \beta_2 < \frac{3}{2}\pi < 2\pi$）とする。 $\tan \beta_1 = \frac{4}{3}$ と $\beta_1$ が第1象限の角であることから

$$\sin \beta_1 = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta_1 = \frac{3}{5}$$

である。また $\beta_2$ は第3象限の角であり $\beta_2 = \beta_1 + \pi$ となるから

$$\sin \beta_2 = -\frac{4}{5}, \quad \cos \beta_2 = -\frac{3}{5}$$

である。 $\beta_1 \leqq x \leqq \beta_2$ において、例えば $x = \pi$ のとき $\cos \pi = -1$、$\frac{3}{4} \sin \pi = 0$ であることから $C_2'$ が上にある。したがって、曲線 $C_1'$ と $C_2'$ で囲まれた図形の面積 $S'$ は

$$S' = \int_{\beta_1}^{\beta_2} \left( \frac{3}{4} \sin x - \cos x \right) \,dx$$

$$S' = \left[ -\frac{3}{4} \cos x - \sin x \right]_{\beta_1}^{\beta_2}$$

$$S' = \left( -\frac{3}{4} \cos \beta_2 - \sin \beta_2 \right) - \left( -\frac{3}{4} \cos \beta_1 - \sin \beta_1 \right)$$

となる。値を代入すると

$$S' = \left( -\frac{3}{4} \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) - \left( -\frac{4}{5} \right) \right) - \left( -\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5} - \frac{4}{5} \right)$$

$$S' = \left( \frac{9}{20} + \frac{16}{20} \right) - \left( -\frac{9}{20} - \frac{16}{20} \right)$$

$$S' = \frac{25}{20} + \frac{25}{20} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$$

である。

解説

三角関数のグラフの交点や面積を求める、積分計算の典型的な問題である。 (3) や (6) のように、交点の $x$ 座標が有名な角にならない場合は、交点の $x$ 座標を文字でおき、その文字の $\sin$ や $\cos$ の値を求めておくのが鉄則である。 (6) では、$\beta_2 = \beta_1 + \pi$ の関係を用いることで、三角関数の性質を活用して計算の負担を減らすことができる。また、合成関数を用いて積分を工夫する別解も考えられる。