トップ› 基礎問題› 数学3› 積分法› 定積分・面積› 問題 160

数学3 定積分・面積問題 160 解説

方針・初手

関数に絶対値が含まれているため、符号による場合分けを行うのが基本である。しかし、関数式の形から $f(-x) = -f(x)$ が成り立つこと、すなわち奇関数であることを見抜ければ、$x \ge 0$ の範囲に絞って考察し、後から原点対称の性質を用いることで記述量や計算量を大幅に削減できる。

解法1

(1)

$f(-x) = -x e^{-|-x|} = -x e^{-|x|} = -f(x)$ であるから、$f(x)$ は奇関数であり、そのグラフは原点に関して対称である。したがって、$x \ge 0$ の範囲について調べる。 $x \ge 0$ のとき、$|x|=x$ より $f(x) = x e^{-x}$ である。これを $x$ で微分すると、積の微分公式より

$$f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = (1-x)e^{-x}$$

となる。 $e^{-x} > 0$ であるから、$f'(x) = 0$ となるのは $x=1$ のときである。 $x \ge 0$ における $f(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$0$	$\nearrow$	$\frac{1}{e}$	$\searrow$

増減表より、$x \ge 0$ の範囲において $f(x)$ は $x=1$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとる。 $f(x)$ は奇関数であるから、$x \le 0$ の範囲では $x=-1$ で極小値 $-\frac{1}{e}$ をとる。

(2)

(1) の増減表および、与えられた $\lim_{x \to \infty} x e^{-x} = 0$ の条件を用いる。奇関数の性質より、$x \to -\infty$ の極限は

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} -f(-x) = -\lim_{t \to \infty} f(t) = 0$$

となる（$t = -x$ とおいて計算した）。これらのことから、グラフの概形は以下の特徴を持つ。

・原点 $(0,0)$ を通る。・点 $(1, \frac{1}{e})$ が山の頂点（極大点）である。・点 $(-1, -\frac{1}{e})$ が谷の底（極小点）である。・$x \to \infty$ のとき $x$ 軸の上側から漸近し、$x \to -\infty$ のとき $x$ 軸の下側から漸近する。

これらをなめらかな曲線で結んだものが $y=f(x)$ のグラフとなる。

(3)

直線 $y=mx$ と曲線 $y=f(x)$ の共有点の $x$ 座標は、方程式

$$x e^{-|x|} = mx$$

の実数解である。原点以外の共有点を持つための条件は、この方程式が $x \neq 0$ なる実数解を持つことである。 $x \neq 0$ であるとして両辺を $x$ で割ると、

$$e^{-|x|} = m$$

となる。 $x \neq 0$ より $|x| > 0$ であるため、$-|x| < 0$ となる。指数関数の性質から $0 < e^{-|x|} < 1$ が常に成り立つため、上記の方程式が $x \neq 0$ の解を持つための $m$ の条件は

$$0 < m < 1$$

である。

(4)

$0 < m < 1$ のとき、(3) の結果より $x > 0$ における共有点の $x$ 座標を $\alpha$ とすると、$e^{-\alpha} = m$ である。両辺の自然対数をとると $-\alpha = \log m$ となり、

$$\alpha = -\log m$$

を得る。曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=mx$ はいずれも原点対称（奇関数）であるから、それらで囲まれた図形も原点に関して対称である。したがって、求める面積 $S$ は、第1象限 ($x \ge 0$) にある部分の面積の2倍として計算できる。ここで、$g(x) = f(x) - mx$ ($x \ge 0$) とおくと、交点は $x=0$ と $x=\alpha$ のみである。 $g'(x) = f'(x) - m = (1-x)e^{-x} - m$ であり、$g'(0) = 1 - m > 0$ となるため、$0 < x < \alpha$ の区間において $g(x) > 0$、すなわち $f(x) > mx$ が成り立つ。よって、面積 $S$ は次のように立式できる。

$$S = 2 \int_{0}^{\alpha} (x e^{-x} - mx) dx$$

定積分を計算していく。部分積分を用いると、

$$\int x e^{-x} dx = x(-e^{-x}) - \int 1 \cdot (-e^{-x}) dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C$$

であるから、

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\alpha} x e^{-x} dx &= \left[ -(x+1)e^{-x} \right]_{0}^{\alpha} \\ &= -(\alpha+1)e^{-\alpha} - (-1)e^{0} \\ &= 1 - (\alpha+1)e^{-\alpha} \end{aligned}$$

となる。ここで、$\alpha = -\log m$、$e^{-\alpha} = m$ を代入すると、

$$\int_{0}^{\alpha} x e^{-x} dx = 1 - (-\log m + 1)m = 1 - m + m \log m$$

となる。一方、直線の定積分は

$$\int_{0}^{\alpha} mx dx = \left[ \frac{1}{2}mx^2 \right]_{0}^{\alpha} = \frac{1}{2}m\alpha^2 = \frac{1}{2}m(-\log m)^2 = \frac{1}{2}m(\log m)^2$$

である。これらをまとめて面積 $S$ を求めると、

$$\begin{aligned} S &= 2 \left( 1 - m + m \log m - \frac{1}{2}m(\log m)^2 \right) \\ &= 2 - 2m + 2m \log m - m(\log m)^2 \end{aligned}$$

となる。

解説

絶対値が含まれる関数のグラフや面積を扱う典型的な微積分の問題である。定義通りに $x \ge 0$ と $x < 0$ で場合分けをして解くことも可能であるが、解答のように $f(x)$ が奇関数であることを見抜くことで、論述の無駄を省き計算ミスを減らすことができる。 (4)の面積計算では、定積分の結果に対して $\alpha$ と $\log m$ の関係式を適用することになるが、$\alpha$ を用いたまま積分の計算を進め、最後に $e^{-\alpha} = m$ などの簡潔な形を代入して整理する方が、早い段階で対数関数を代入するよりも式が煩雑にならず見通しが良い。