数学3 定積分・面積 問題 161 解説

方針・初手

確率 $p_n$ を $n$ の式で表し、$\log p_n$ を和の形に変形して区分求積法を利用する。確率を考える際の原則に従い、ボールも箱もすべて区別して考える。

解法1

$n$ 個のボールを区別し、$2n$ 個の箱も区別して考える。 各ボールがどの箱に入るかの総数は $(2n)^n$ 通りであり、これらは同様に確からしい。

どの箱にも1個以下のボールしか入っていない（すなわち、すべてのボールが異なる箱に入る）入り方の総数は、$2n$ 個の箱から $n$ 個を選んでボールを一つずつ入れる順列の数に等しいため、

$${}_{2n}\mathrm{P}_n = \frac{(2n)!}{n!} = 2n(2n-1)\cdots(n+1)$$

通りである。

よって、求める確率 $p_n$ は

$$p_n = \frac{{}_{2n}\mathrm{P}_n}{(2n)^n} = \frac{2n(2n-1)\cdots(n+1)}{(2n)^n} = \prod_{k=1}^n \frac{n+k}{2n}$$

となる。

ここで、対数をとると

$$\log p_n = \sum_{k=1}^n \log \left( \frac{n+k}{2n} \right) = \sum_{k=1}^n \log \left( \frac{1 + \frac{k}{n}}{2} \right)$$

と表せる。

したがって、求める極限値は区分求積法を用いると

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\log p_n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log \left( \frac{1 + \frac{k}{n}}{2} \right)$$

$$= \int_0^1 \log \left( \frac{1+x}{2} \right) dx$$

となる。

この定積分を計算する。

$$\int_0^1 \log \left( \frac{1+x}{2} \right) dx = \int_0^1 \left\{ \log(1+x) - \log 2 \right\} dx$$

$$= \left[ (1+x)\log(1+x) - x \right]_0^1 - \left[ x \log 2 \right]_0^1$$

$$= (2\log 2 - 1) - \log 2$$

$$= \log 2 - 1$$

となる。

解説

確率の式から対数を取り、区分求積法を用いて極限を求める典型問題である。確率を計算する際は、「すべて区別して考える」という基本原則に従う。$p_n$ の式を立てた後、対数 $\log p_n$ が和の記号 $\sum$ を用いて表せることに気づくのがポイントである。また、$\int \log(x+a) dx = (x+a)\log(x+a) - x + C$ の積分公式は頻出であるため、スムーズに計算できるようにしておきたい。

答え

$\log 2 - 1$