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数学3 定積分・面積問題 170 解説

方針・初手

三角方程式の解法と、絶対値を含む定積分、および微分を用いた関数の増減の基本問題である。 (1) と (2) は、単位円や $y = \cos x$ のグラフの対称性を利用して解を求める。 (3) は、積分区間における $\cos x - \cos \theta$ の正負を判断し、絶対値を外して計算する。 (4) は、(3) で求めた $\theta$ の関数を微分して増減表を作り、最小値を求める。

解法1

(1)

方程式 $\cos x = \cos \frac{3}{4}\pi$ を満たす $x$ を考える。 $0 \leqq x \leqq 2\pi$ の範囲において、$\cos x = \cos \theta$ の解は $x = \theta, 2\pi - \theta$ であるから、

$$x = \frac{3}{4}\pi, \ 2\pi - \frac{3}{4}\pi = \frac{5}{4}\pi$$

このうち、与えられた範囲 $\pi \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi$ を満たすのは $x = \frac{5}{4}\pi$ である。

(2)

$\frac{\pi}{2} \leqq \theta < \pi$ であるから、定数 $\cos \theta$ は $-1 < \cos \theta \leqq 0$ を満たす。 $0 \leqq x \leqq 2\pi$ において、$\cos x = \cos \theta$ の解は $x = \theta, 2\pi - \theta$ である。ここで、$\theta$ の範囲より、

$$\pi < 2\pi - \theta \leqq \frac{3}{2}\pi$$

となるため、$2$ つの解はともに $0 \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi$ の範囲に含まれる。したがって、求める解は $x = \theta, \ 2\pi - \theta$ である。

(3)

(2) より、$\frac{\pi}{2} \leqq \theta < \pi$ において $\theta < \pi < 2\pi - \theta$ であるから、$2$ つの解の大小関係は $\theta < 2\pi - \theta$ となる。よって大きい方の解は $\alpha = 2\pi - \theta$ である。求める定積分は、

$$S = \int_{0}^{2\pi - \theta} |\cos x - \cos \theta| \,dx$$

$y = \cos x$ は $0 \leqq x \leqq \pi$ で単調減少、$ \pi \leqq x \leqq 2\pi$ で単調増加であることから、区間内の $\cos x - \cos \theta$ の符号は以下のようになる。 $0 \leqq x \leqq \theta$ のとき、$\cos x \geqq \cos \theta$ $\theta \leqq x \leqq 2\pi - \theta$ のとき、$\cos x \leqq \cos \theta$

これより、絶対値を外すと、

$$\begin{aligned} S &= \int_{0}^{\theta} (\cos x - \cos \theta) \,dx + \int_{\theta}^{2\pi - \theta} -(\cos x - \cos \theta) \,dx \\ &= \Big[\sin x - x \cos \theta\Big]_{0}^{\theta} - \Big[\sin x - x \cos \theta\Big]_{\theta}^{2\pi - \theta} \\ &= (\sin \theta - \theta \cos \theta) - \{\sin(2\pi - \theta) - (2\pi - \theta) \cos \theta - (\sin \theta - \theta \cos \theta)\} \end{aligned}$$

ここで、$\sin(2\pi - \theta) = -\sin \theta$ であるから、

$$\begin{aligned} S &= \sin \theta - \theta \cos \theta - \{-\sin \theta - 2\pi \cos \theta + \theta \cos \theta - \sin \theta + \theta \cos \theta\} \\ &= \sin \theta - \theta \cos \theta - (-2\sin \theta - 2\pi \cos \theta + 2\theta \cos \theta) \\ &= 3\sin \theta + (2\pi - 3\theta)\cos \theta \end{aligned}$$

(4)

(3) の結果より、$S(\theta) = 3\sin \theta + (2\pi - 3\theta)\cos \theta$ となるので、$\theta$ について微分する。

$$\begin{aligned} S'(\theta) &= 3\cos \theta - 3\cos \theta + (2\pi - 3\theta)(-\sin \theta) \\ &= (3\theta - 2\pi)\sin \theta \end{aligned}$$

$\frac{\pi}{2} \leqq \theta < \pi$ において $\sin \theta > 0$ であるから、$S'(\theta) = 0$ となるのは $3\theta - 2\pi = 0$、すなわち $\theta = \frac{2}{3}\pi$ のときである。この範囲における $S(\theta)$ の増減表は以下のようになる。

$\theta$	$\frac{\pi}{2}$	$\cdots$	$\frac{2}{3}\pi$	$\cdots$	$\pi$
$S'(\theta)$		$-$	$0$	$+$
$S(\theta)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$S(\theta)$ は $\theta = \frac{2}{3}\pi$ のとき最小値をとる。最小値は、

$$\begin{aligned} S\left(\frac{2}{3}\pi\right) &= 3\sin\left(\frac{2}{3}\pi\right) + \left(2\pi - 3 \cdot \frac{2}{3}\pi\right)\cos\left(\frac{2}{3}\pi\right) \\ &= 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$$

解説

三角関数の性質と絶対値積分、微積分の融合問題である。絶対値を含む定積分は、中身の正負が切り替わる点で積分区間を分割するのが鉄則である。本問ではグラフの上下関係をイメージすることで、$\theta$ を境に符号が反転することが容易にわかる。積分計算においては、$\sin(2\pi - \theta) = -\sin \theta$ のような三角関数の還元公式を正確に適用し、計算ミスを防ぐことが重要である。また、導関数 $S'(\theta)$ の計算では、積の微分法を用いた後に項がきれいに打ち消し合うため、自身の計算が正しいことの指標となる。