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数学3 定積分・面積問題 171 解説

方針・初手

(1) 与えられた漸化式に $n=1, 2, 3$ を順に代入し、$a_2, a_3, a_4$ を計算する。

(2) 漸化式の形から両辺の逆数をとる方針が考えられる。その際、各項が $0$ でないことを確認する。また、(1) の結果から一般項を推測し、数学的帰納法で証明するという方針でもよい。

(3) 求める極限は和の極限であるため、区分求積法を利用できないか考える。シグマの中身を $\frac{1}{m} f\left(\frac{k}{m}\right)$ の形に変形する。

解法1

(1) 与えられた漸化式は以下の通りである。

$$a_{n+1} = \frac{n a_n}{2 + n(a_n + 1)} \quad (n=1, 2, 3, \cdots)$$

$a_1 = 1$ より、$n=1$ を代入して、

$$a_2 = \frac{1 \cdot a_1}{2 + 1 \cdot (a_1 + 1)} = \frac{1 \cdot 1}{2 + 1 \cdot (1 + 1)} = \frac{1}{4}$$

$n=2$ を代入して、

$$a_3 = \frac{2 \cdot a_2}{2 + 2 \cdot (a_2 + 1)} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{2 + 2 \left(\frac{1}{4} + 1\right)} = \frac{\frac{1}{2}}{2 + \frac{5}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{9}{2}} = \frac{1}{9}$$

$n=3$ を代入して、

$$a_4 = \frac{3 \cdot a_3}{2 + 3 \cdot (a_3 + 1)} = \frac{3 \cdot \frac{1}{9}}{2 + 3 \left(\frac{1}{9} + 1\right)} = \frac{\frac{1}{3}}{2 + \frac{10}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{16}{3}} = \frac{1}{16}$$

(2) $a_1 = 1 > 0$ であり、すべての自然数 $n$ について $n > 0$ であるから、漸化式より帰納的に $a_n > 0$ である。したがって、$a_n \neq 0$ であり、漸化式の両辺の逆数をとることができる。逆数をとると、

$$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2 + n(a_n + 1)}{n a_n} = \frac{2 + n}{n a_n} + 1$$

$$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{n+2}{n} \cdot \frac{1}{a_n} + 1$$

この両辺を $(n+1)(n+2)$ で割ると、

$$\frac{1}{(n+1)(n+2)a_{n+1}} = \frac{1}{n(n+1)a_n} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}$$

ここで、$b_n = \frac{1}{n(n+1)a_n}$ とおくと、

$$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{(n+1)(n+2)}$$

$$b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$$

数列 $\{b_n\}$ の階差数列が求まった。$n \geqq 2$ のとき、

$$\begin{aligned} b_n &= b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \right) \\ &= b_1 + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\ &= b_1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} \end{aligned}$$

ここで、$b_1 = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot a_1} = \frac{1}{2}$ であるから、

$$b_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$$

この式は $n=1$ のときも $b_1 = \frac{1}{2}$ となり成り立つ。したがって、すべての自然数 $n$ について、

$$\frac{1}{n(n+1)a_n} = \frac{n}{n+1}$$

両辺に $n(n+1)$ を掛けて逆数をとると、

$$\frac{1}{a_n} = n^2$$

$$a_n = \frac{1}{n^2}$$

(3) (2) の結果より、求める極限は以下のようになる。和の変数を $k$ に取り直し、$n = m+k$ とおくことで区分求積法の形に持ち込む。

$$\begin{aligned} \lim_{m \to \infty} m \sum_{n=m+1}^{2m} a_n &= \lim_{m \to \infty} m \sum_{n=m+1}^{2m} \frac{1}{n^2} \\ &= \lim_{m \to \infty} m \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{(m+k)^2} \\ &= \lim_{m \to \infty} m \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{m^2 \left(1 + \frac{k}{m}\right)^2} \\ &= \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{\left(1 + \frac{k}{m}\right)^2} \end{aligned}$$

区分求積法より、この極限は定積分で表される。

$$\begin{aligned} \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{\left(1 + \frac{k}{m}\right)^2} &= \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)^2} dx \\ &= \left[ -\frac{1}{1+x} \right]_{0}^{1} \\ &= -\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{1}\right) \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

解法2

(2) について

(1) の結果より、$a_1 = 1$, $a_2 = \frac{1}{4}$, $a_3 = \frac{1}{9}$, $a_4 = \frac{1}{16}$ となることから、一般項は $a_n = \frac{1}{n^2}$ と推測できる。これを数学的帰納法により証明する。

(i) $n=1$ のとき

$a_1 = \frac{1}{1^2} = 1$ となり、推測は成り立つ。

(ii) $n=k$ ($k \geqq 1$) のとき、$a_k = \frac{1}{k^2}$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき、漸化式より、

$$a_{k+1} = \frac{k a_k}{2 + k(a_k + 1)}$$

仮定を代入すると、

$$a_{k+1} = \frac{k \cdot \frac{1}{k^2}}{2 + k \left(\frac{1}{k^2} + 1\right)}$$

分母分子に $k$ を掛けると、

$$\begin{aligned} a_{k+1} &= \frac{1}{2k + k^2 \left(\frac{1}{k^2} + 1\right)} \\ &= \frac{1}{2k + 1 + k^2} \\ &= \frac{1}{(k+1)^2} \end{aligned}$$

よって、$n=k+1$ のときも推測は成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について $a_n = \frac{1}{n^2}$ である。

解説

(1) はただの計算問題であるが、(2) で一般項を推測するための重要なヒントとなる。

(2) のような分数の漸化式は、両辺の逆数をとるのが定石の1つである。逆数をとった後、両辺を何らかの式で割ることで、等差数列や階差数列の形に帰着させることができる（本問では両辺を $(n+1)(n+2)$ で割ることで階差数列の形になる）。しかし、この変形に気づきにくい場合は、解法2のように (1) の結果から推測して数学的帰納法で示す方針が手堅く、実戦的である。

(3) は極限計算の基本である区分求積法を用いる問題である。$\sum$ の形になっている極限では、$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)$ という形を無理やり作り出し、$\int_0^1 f(x)dx$ へと変換する操作が頻出である。