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数学3 定積分・面積問題 172 解説

方針・初手

(1) は定積分で表された関数の微分の基本公式を用いる。 (2) は (1) の結果を利用し、合成関数の微分法を用いる。 (3) は (1) と (2) の結果を足し合わせることで、関数の導関数がどうなるかを確認し、そこから元の関数の性質を導くのが自然な誘導である。別解として、積分そのものを直接計算・評価する方法も考えられる。

解法1

(1) 微分積分学の基本定理より、被積分関数 $\frac{1}{1+t^2}$ は連続であるから、両辺を $x$ で微分すると

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1}{1+x^2}$$

となる。

(2) $g(x) = f\left(\frac{1}{x}\right)$ について、合成関数の微分法を用いる。

$$\frac{d}{dx}g(x) = f'\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(\frac{1}{x}\right)'$$

(1) の結果より $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ であるから、

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}g(x) &= \frac{1}{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) \\ &= \frac{x^2}{x^2+1} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) \\ &= -\frac{1}{1+x^2} \end{aligned}$$

となる。

(3) (1) と (2) の結果より、

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}\left\{ f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) \right\} &= \frac{d}{dx}f(x) + \frac{d}{dx}g(x) \\ &= \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} \\ &= 0 \end{aligned}$$

導関数が常に $0$ であるから、$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$ は定数関数である。 $x > 0$ であるため、定数 $C$ を用いて次のように表せる。

$$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = C$$

この等式は任意の $x > 0$ で成り立つので、計算しやすい $x = 1$ を代入する。

$$C = f(1) + f(1) = 2f(1)$$

ここで、$f(1) = \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}$ である。 $t = \tan \theta$ とおくと、

$$dt = \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$$

であり、$t$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$\theta$ は $0$ から $\frac{\pi}{4}$ まで変化する。

$$\begin{aligned} f(1) &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\tan^2 \theta} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \theta \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} 1 d\theta \\ &= \left[ \theta \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$

したがって、

$$C = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

ゆえに、$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$ である。

解法2

(3)の別解 $x > 0$ であるから、$x = \tan \alpha \ \left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right)$ とおくことができる。 $f(x) = \int_0^x \frac{dt}{1+t^2}$ において、$t = \tan \theta$ と置換すると、

$$dt = \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$$

であり、$t$ が $0$ から $x$ まで変化するとき、$\theta$ は $0$ から $\alpha$ まで変化する。

$$\begin{aligned} f(x) &= \int_0^{\alpha} \frac{1}{1+\tan^2 \theta} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \\ &= \int_0^{\alpha} 1 d\theta \\ &= \alpha \end{aligned}$$

同様に、$f\left(\frac{1}{x}\right)$ について考える。 $x = \tan \alpha$ より $\frac{1}{x} = \frac{1}{\tan \alpha} = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$ である。ここで $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $0 < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2}$ であるから、$f(x)$ の計算と同様の置換積分を行うことで、

$$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} - \alpha$$

を得る。したがって、

$$\begin{aligned} f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) &= \alpha + \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \\ &= \frac{\pi}{2} \end{aligned}$$

となる。

解説

(1) と (2) は、(3) を解くための典型的な誘導となっている。導関数が $0$ になることを示して関数が定数であることを導く論法は、微積分において非常に重要かつ頻出である。定数であることを示した後は、$x=1$ などの具体的な値を代入してその定数値を決定する。解法2で示したように、$t = \tan \theta$ という置換を行うと $f(x)$ 自体の値が明確になり、三角関数の性質から直接和を求めることもできる。この背景には、関数 $f(x)$ が逆正接関数（$\arctan x$）を表しているという事実がある。$\arctan x + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} \ (x > 0)$ という有名な関係式を背景とした問題である。