トップ› 基礎問題› 数学3› 積分法› 定積分・面積› 問題 173

数学3 定積分・面積問題 173 解説

方針・初手

(1) 対数の性質を用いて不等式を変形し、真数の大小比較に帰着させます。与えられた条件 $e < 3$ を活用できる形を目指します。

(2) 商の微分法を用いて関数 $f(x)$ を微分し、式を整理します。

(3) 被積分関数を $\frac{\sin x}{1+\cos x}$ と $\frac{-\cos x}{1+\cos x}$ の2つの項に分けます。前者は $\frac{g'(x)}{g(x)}$ の形をしているため積分計算が容易であり、後者は (2) で求めた導関数を利用して積分を計算します。

(4) (3) で得られた値に対し、(1) の結果と円周率 $\pi$ のおおよその値（$\pi < 3.2$ など）を用いて下からの評価を行い、正負を判定します。

解法1

(1)

示すべき不等式 $\log 2 > \frac{3}{5}$ の両辺を $5$ 倍すると、

$$5\log 2 > 3$$

対数の性質により、これを変形すると、

$$\log 2^5 > \log e^3$$

$$\log 32 > \log e^3$$

底 $e$ は $e > 1$ であるから、真数の大小関係 $32 > e^3$ を示せば十分である。ここで、与えられた条件 $e < 3$ の両辺を $3$ 乗すると、

$$e^3 < 3^3 = 27$$

$27 < 32$ であるから、

$$e^3 < 32$$

が成り立つ。したがって、$\log e^3 < \log 32$ すなわち $3 < 5\log 2$ が成立し、両辺を $5$ で割ることで $\log 2 > \frac{3}{5}$ が成り立つことが示された。

(2)

商の微分法を用いて $f(x)$ を微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{(\sin x)'(1 + \cos x) - \sin x(1 + \cos x)'}{(1 + \cos x)^2} - (x)' \\ &= \frac{\cos x(1 + \cos x) - \sin x(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} - 1 \\ &= \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} - 1 \end{aligned}$$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いて整理すると、

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2} - 1 \\ &= \frac{1}{1 + \cos x} - 1 \\ &= \frac{1 - (1 + \cos x)}{1 + \cos x} \\ &= \frac{-\cos x}{1 + \cos x} \end{aligned}$$

(3)

求める定積分を $I$ とおく。

$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - \cos x}{1 + \cos x} dx$$

被積分関数を $2$ つの分数に分割する。

$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{-\cos x}{1 + \cos x} dx$$

第 $1$ 項について、$(1+\cos x)' = -\sin x$ であることを用いると、

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{-(1 + \cos x)'}{1 + \cos x} dx \\ &= \left[ -\log(1 + \cos x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= -\log\left(1 + \cos\frac{\pi}{2}\right) - \{-\log(1 + \cos 0)\} \\ &= -\log 1 + \log 2 \\ &= \log 2 \end{aligned}$$

第 $2$ 項について、(2) の結果 $f'(x) = \frac{-\cos x}{1 + \cos x}$ を用いると、

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{-\cos x}{1 + \cos x} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f'(x) dx \\ &= \left[ f(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= f\left(\frac{\pi}{2}\right) - f(0) \end{aligned}$$

ここで、$f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ と $f(0)$ を計算する。

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sin\frac{\pi}{2}}{1 + \cos\frac{\pi}{2}} - \frac{\pi}{2} = \frac{1}{1 + 0} - \frac{\pi}{2} = 1 - \frac{\pi}{2}$$

$$f(0) = \frac{\sin 0}{1 + \cos 0} - 0 = 0$$

したがって、第 $2$ 項の積分の値は $1 - \frac{\pi}{2}$ となる。以上より、積分 $I$ の値は、

$$I = \log 2 + 1 - \frac{\pi}{2}$$

(4)

(3) で求めた値 $I = \log 2 + 1 - \frac{\pi}{2}$ の正負を判定する。 (1) より $\log 2 > \frac{3}{5}$ であるから、これを $I$ の式に代入して下から評価すると、

$$\begin{aligned} I &> \frac{3}{5} + 1 - \frac{\pi}{2} \\ &= \frac{8}{5} - \frac{\pi}{2} \\ &= \frac{16 - 5\pi}{10} \end{aligned}$$

円周率 $\pi$ について、$\pi < 3.2$ であるから、

$$16 - 5\pi > 16 - 5 \times 3.2 = 16 - 16 = 0$$

したがって、

$$I > \frac{16 - 5\pi}{10} > 0$$

となり、(3) で求めた値は正である。

解説

前の小問が次の小問の誘導になっているという、大学入試数学における典型的な構成の良問です。 (1) の不等式評価がどこで使われるかを見越しながら解き進める姿勢が大切です。(4) で正負を判定する際、$\log 2$ の値をそのまま評価するのは難しいため、(1) であらかじめ証明させた $\log 2 > 0.6$ という不等式が強力な武器となります。また、積分計算において自力でゼロから原始関数を見つけるのが難しい形であっても、(2) で微分した結果を逆算的に活用することで、簡単に積分を完了できる点に気づけたかどうかがポイントになります。