数学3 定積分・面積 問題 174 解説

方針・初手

対数関数を含む積分であるため、まずは部分積分法を検討する。被積分関数は $\frac{1}{x^2} \cdot \log \sqrt{1+x^2}$ とみなすことができ、$\frac{1}{x^2} = \left( -\frac{1}{x} \right)'$ であることを利用して部分積分を行うと、対数関数が微分されて有理関数の積分に帰着できる。有理関数の積分において $\frac{1}{1+x^2}$ の形が現れた場合は、$x = \tan \theta$ と置換するのが定石である。

あるいは、最初から $x = \tan \theta$ と置換することで、被積分関数を三角関数のみの式に変形してから部分積分を行う方法も有効である。

解法1

求める定積分を $I$ とおく。

$$I = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2} \log \sqrt{1+x^2} dx$$

$\frac{1}{x^2} = \left(-\frac{1}{x}\right)'$ であるから、部分積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} I &= \int_{1}^{\sqrt{3}} \left( -\frac{1}{x} \right)' \log \sqrt{1+x^2} dx \\ &= \left[ -\frac{1}{x} \log \sqrt{1+x^2} \right]_{1}^{\sqrt{3}} - \int_{1}^{\sqrt{3}} \left( -\frac{1}{x} \right) \left( \log \sqrt{1+x^2} \right)' dx \end{aligned}$$

ここで、対数関数の微分は以下のようになる。

$$\left( \log \sqrt{1+x^2} \right)' = \left( \frac{1}{2} \log(1+x^2) \right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{1+x^2} = \frac{x}{1+x^2}$$

これを代入して計算を進める。

$$\begin{aligned} I &= \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \log \sqrt{1+3} \right) - \left( -\frac{1}{1} \log \sqrt{1+1} \right) - \int_{1}^{\sqrt{3}} \left( -\frac{1}{x} \right) \cdot \frac{x}{1+x^2} dx \\ &= -\frac{1}{\sqrt{3}} \log 2 + \log \sqrt{2} + \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx \\ &= -\frac{\sqrt{3}}{3} \log 2 + \frac{1}{2} \log 2 + \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx \\ &= \frac{3-2\sqrt{3}}{6} \log 2 + \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx \end{aligned}$$

残った定積分 $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx$ について、$x = \tan \theta$ と置換する。

$$dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$$

積分区間は、$x$ が $1$ から $\sqrt{3}$ に変化するとき、$\theta$ は $\frac{\pi}{4}$ から $\frac{\pi}{3}$ に変化する。

$$\begin{aligned} \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\tan^2 \theta} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \\ &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2 \theta \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \\ &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} 1 d\theta \\ &= \left[ \theta \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \\ &= \frac{\pi}{12} \end{aligned}$$

したがって、求める定積分 $I$ の値は以下の通りとなる。

$$I = \frac{3-2\sqrt{3}}{6} \log 2 + \frac{\pi}{12}$$

解法2

求める定積分を $I$ とおく。

$$I = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2} \log \sqrt{1+x^2} dx$$

最初に $x = \tan \theta$ と置換する。

$$dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$$

積分区間は $x$ が $1$ から $\sqrt{3}$ に変化するとき、$\theta$ は $\frac{\pi}{4}$ から $\frac{\pi}{3}$ に変化する。 この区間において $\cos \theta > 0$ であることに注意して、被積分関数を変形する。

$$\log \sqrt{1+x^2} = \log \sqrt{1+\tan^2 \theta} = \log \sqrt{\frac{1}{\cos^2 \theta}} = \log \frac{1}{\cos \theta} = -\log (\cos \theta)$$

$$\frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{\tan^2 \theta} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta = \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta = \frac{1}{\sin^2 \theta} d\theta$$

これらを $I$ に代入する。

$$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin^2 \theta} \left( -\log (\cos \theta) \right) d\theta$$

ここで、$\left(-\frac{1}{\tan \theta}\right)' = \frac{1}{\sin^2 \theta}$ であることを利用して部分積分を行う。

$$\begin{aligned} I &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \left( -\frac{1}{\tan \theta} \right)' \left( -\log (\cos \theta) \right) d\theta \\ &= \left[ \left( -\frac{1}{\tan \theta} \right) \left( -\log (\cos \theta) \right) \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \left( -\frac{1}{\tan \theta} \right) \left( -\log (\cos \theta) \right)' d\theta \end{aligned}$$

対数関数の微分は以下のようになる。

$$\left( -\log (\cos \theta) \right)' = - \frac{-\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$$

これを代入して計算を進める。

$$\begin{aligned} I &= \left[ \frac{1}{\tan \theta} \log (\cos \theta) \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \left( -\frac{1}{\tan \theta} \right) \tan \theta d\theta \\ &= \left( \frac{1}{\tan \frac{\pi}{3}} \log \left( \cos \frac{\pi}{3} \right) - \frac{1}{\tan \frac{\pi}{4}} \log \left( \cos \frac{\pi}{4} \right) \right) - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} (-1) d\theta \\ &= \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \log \frac{1}{2} - 1 \cdot \log \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} 1 d\theta \\ &= \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \log 2 + \frac{1}{2} \log 2 \right) + \left[ \theta \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{3-2\sqrt{3}}{6} \log 2 + \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) \\ &= \frac{3-2\sqrt{3}}{6} \log 2 + \frac{\pi}{12} \end{aligned}$$

解説

対数関数と代数関数（本問では $\frac{1}{x^2}$）の積の積分は、代数関数側を積分して対数関数側を微分する部分積分が極めて有効な定石である。微分の過程で $\log$ の中身が消え、有理関数の積分に帰着させることができる。

また、部分積分の後に現れる $\frac{1}{1+x^2}$ の積分も頻出であり、$x = \tan \theta$ と置換することで計算できる基本事項である。解法2のように、根号内に $1+x^2$ を含む形を見た段階で最初から $x = \tan \theta$ と置換する方針を取れば、部分積分の見通しがより良くなることもある。いずれの解法でも計算量は同程度であるため、確実に正解まで辿り着ける計算力が求められる。

答え

$$\frac{3-2\sqrt{3}}{6} \log 2 + \frac{\pi}{12}$$