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数学3 定積分・面積問題 175 解説

方針・初手

(1)は商の微分法を用いて導関数 $f'(x)$ を計算し、増減表を作成して極値を求める。 (2)は、被積分関数の分子が分母の導関数の定数倍になっていることに着目し、$\int \frac{g'(x)}{g(x)} dx = \log|g(x)| + C$ の形を利用する。 (3)は、与えられた等式 $f(\alpha) = f(\beta)$ に関数の式を代入して分母を払い、因数分解をして条件 $0<\alpha<\beta$ を用いる。 (4)は、(2)の結果を用いて定積分を計算し、(3)で求めた関係式を用いて式を整理する。

解法1

(1) 関数 $f(x) = \frac{x}{1+4x^2}$ を $x$ で微分すると、商の微分法より

$$f'(x) = \frac{1 \cdot (1+4x^2) - x \cdot (8x)}{(1+4x^2)^2}$$

$$f'(x) = \frac{1 - 4x^2}{(1+4x^2)^2}$$

$$f'(x) = \frac{(1-2x)(1+2x)}{(1+4x^2)^2}$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は、$x = \pm \frac{1}{2}$ である。これをもとに増減表を作成すると、次のようになる。

$x$	$\cdots$	$-\frac{1}{2}$	$\cdots$	$\frac{1}{2}$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$

$x = \frac{1}{2}$ のとき、極大値は

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\frac{1}{2}}{1 + 4\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + 1} = \frac{1}{4}$$

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、極小値は

$$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{-\frac{1}{2}}{1 + 4\left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{1 + 1} = -\frac{1}{4}$$

(2) 求める不定積分は

$$\int f(x) dx = \int \frac{x}{1+4x^2} dx$$

$(1+4x^2)' = 8x$ であることに着目して、次のように変形する。

$$\int \frac{x}{1+4x^2} dx = \frac{1}{8} \int \frac{8x}{1+4x^2} dx$$

$$= \frac{1}{8} \log(1+4x^2) + C \quad (C \text{は積分定数})$$

ここで、すべての実数 $x$ に対して $1+4x^2 > 0$ であるため、真数の絶対値記号は外してある。

(3) $f(\alpha) = f(\beta)$ より

$$\frac{\alpha}{1+4\alpha^2} = \frac{\beta}{1+4\beta^2}$$

両辺に $(1+4\alpha^2)(1+4\beta^2)$ を掛けて分母を払うと

$$\alpha(1+4\beta^2) = \beta(1+4\alpha^2)$$

$$\alpha + 4\alpha\beta^2 = \beta + 4\alpha^2\beta$$

項を左辺にまとめて整理し、因数分解を行う。

$$\alpha - \beta - 4\alpha^2\beta + 4\alpha\beta^2 = 0$$

$$(\alpha - \beta) - 4\alpha\beta(\alpha - \beta) = 0$$

$$(\alpha - \beta)(1 - 4\alpha\beta) = 0$$

条件 $0 < \alpha < \beta$ より $\alpha \neq \beta$ であるから、$\alpha - \beta \neq 0$ である。したがって、両辺を $\alpha - \beta$ で割ることができ

$$1 - 4\alpha\beta = 0$$

$$\alpha\beta = \frac{1}{4}$$

(4) (2)の結果より、定積分を計算する。

$$\int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx = \left[ \frac{1}{8} \log(1+4x^2) \right]_{\alpha}^{\beta}$$

$$= \frac{1}{8} \log(1+4\beta^2) - \frac{1}{8} \log(1+4\alpha^2)$$

$$= \frac{1}{8} \log \frac{1+4\beta^2}{1+4\alpha^2}$$

ここで、$f(\alpha) = f(\beta)$ すなわち $\frac{\alpha}{1+4\alpha^2} = \frac{\beta}{1+4\beta^2}$ より、

$$\frac{1+4\beta^2}{1+4\alpha^2} = \frac{\beta}{\alpha}$$

が成り立つ。これを対数の真数部分に代入する。

$$\int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx = \frac{1}{8} \log \frac{\beta}{\alpha}$$

さらに、(3)の結果 $\alpha\beta = \frac{1}{4}$ より $\alpha = \frac{1}{4\beta}$ である。これを代入すると

$$\int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx = \frac{1}{8} \log \frac{\beta}{\frac{1}{4\beta}}$$

$$= \frac{1}{8} \log (4\beta^2)$$

$\beta > 0$ であるから、$4\beta^2 = (2\beta)^2$ とみて対数の性質を用いると

$$= \frac{1}{8} \cdot 2 \log (2\beta)$$

$$= \frac{1}{4} \log (2\beta)$$

$$= \frac{1}{4} (\log \beta + \log 2)$$

となり、題意は示された。

解説

微分積分の基本計算と、等式条件の処理を問う標準的な問題である。 (3)のように分母に変数を含む等式を処理する際は、分母を払って因数分解の形に持ち込むのが定石である。その際、条件 $0<\alpha<\beta$ が $\alpha - \beta \neq 0$ を保証する役割を果たしている点に注意したい。 (4)の対数の真数部分の変形において、$\alpha$ に $\frac{1}{4\beta}$ を直接代入して $\frac{1+4\beta^2}{1+4\alpha^2}$ を計算してもよいが、解説のように $f(\alpha)=f(\beta)$ の等式から直接比の値を求めると計算量が減り、見通しが良くなる。