数学3 定積分・面積 問題 185 解説

方針・初手

(1) は三角関数の加法定理を用いて展開します。 (2) は合成関数の微分法を用いて計算します。 (3) は (1) と (2) の結果を用いて被積分関数を変形し、積分しやすい形を作り出します。特に、$(e^{ax}f(x))' = a e^{ax} f(x) + e^{ax} f'(x)$ という微分の公式の逆演算を利用する典型的な誘導問題です。

解法1

(1)

正弦の加法定理より、

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}$$

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であるから、

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x + \cos x)$$

(2)

合成関数の微分法を用いると、

$$f'(x) = 3\sin^2 x \cdot (\sin x)'$$

$$= 3\sin^2 x \cos x$$

(3)

求める定積分を $I$ とおく。(1) の結果を用いると、被積分関数は次のように変形できる。

$$e^{3x} \sin^2 x \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = e^{3x} \sin^2 x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x + \cos x)$$

$$= \frac{1}{\sqrt{2}} e^{3x} (\sin^3 x + \sin^2 x \cos x)$$

ここで、(2) の結果より $\sin^2 x \cos x = \frac{1}{3}f'(x)$ であり、$f(x) = \sin^3 x$ であるから、

$$\sin^3 x + \sin^2 x \cos x = f(x) + \frac{1}{3}f'(x)$$

$$= \frac{1}{3} \{ 3f(x) + f'(x) \}$$

したがって、被積分関数は次のように表される。

$$\frac{1}{3\sqrt{2}} e^{3x} \{ 3f(x) + f'(x) \} = \frac{1}{3\sqrt{2}} \{ 3e^{3x} f(x) + e^{3x} f'(x) \}$$

さらに、積の微分法より $\{ e^{3x} f(x) \}' = 3e^{3x} f(x) + e^{3x} f'(x)$ であることに着目すると、

$$\frac{1}{3\sqrt{2}} \{ 3e^{3x} f(x) + e^{3x} f'(x) \} = \frac{1}{3\sqrt{2}} \{ e^{3x} f(x) \}'$$

よって、定積分 $I$ は次のように計算できる。

$$I = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{3\sqrt{2}} \{ e^{3x} f(x) \}' dx$$

$$= \frac{1}{3\sqrt{2}} \left[ e^{3x} f(x) \right]_0^{\frac{\pi}{6}}$$

$f(x) = \sin^3 x$ を代入して計算を進める。

$$I = \frac{1}{3\sqrt{2}} \left( e^{3 \cdot \frac{\pi}{6}} \sin^3 \frac{\pi}{6} - e^0 \sin^3 0 \right)$$

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$、$\sin 0 = 0$ であるから、

$$I = \frac{1}{3\sqrt{2}} \left( e^{\frac{\pi}{2}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 1 \cdot 0 \right)$$

$$= \frac{1}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{8} e^{\frac{\pi}{2}}$$

$$= \frac{\sqrt{2}}{48} e^{\frac{\pi}{2}}$$

解説

前問の結果を利用して積分を実行する、誘導形式の典型問題です。 数学IIIの積分計算において、$(e^{ax}f(x))' = e^{ax} \{ a f(x) + f'(x) \}$ という関係式を利用して積分を行う手法は頻出です。本問では (1) と (2) の結果を被積分関数に代入していくことで、自然とその形が現れるように設計されています。計算の途中でこの形を見抜くことができれば、部分積分などを繰り返すことなく、非常に簡潔に答えを導き出すことができます。

答え

(1)

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x + \cos x)$$

(2)

$$3\sin^2 x \cos x$$

(3)

$$\frac{\sqrt{2}}{48} e^{\frac{\pi}{2}}$$