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数学3 定積分・面積問題 186 解説

方針・初手

媒介変数表示された曲線の微分と積分に関する基本的な問題である。 (1) と (2) は、媒介変数で表された関数の導関数の公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ を用いて計算する。 (3) は、(1)、(2) の結果から増減表を作成し、概形を把握する。 (4) は、面積の公式 $S = \int y \,dx$ をもとに、置換積分を用いて $t$ の積分に直して計算する。

解法1

(1)

$x = 1 - \cos t$、$y = 2 - \sin 2t$ をそれぞれ $t$ について微分すると

$$\frac{dx}{dt} = \sin t$$

$$\frac{dy}{dt} = -2\cos 2t$$

$0 < t < \pi$ の範囲では $\sin t > 0$ であり、$\frac{dx}{dt} \neq 0$ であるから

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{-2\cos 2t}{\sin t}$$

(2)

$0 < t < \pi$ の範囲において $\frac{dy}{dx} = 0$ となるのは、分子が $0$ となるときである。

$$-2\cos 2t = 0$$

$$\cos 2t = 0$$

$0 < t < \pi$ より $0 < 2t < 2\pi$ であるから

$$2t = \frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi$$

$$t = \frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi$$

それぞれの $t$ の値に対する $x$ の値は以下のようになる。

$t = \frac{\pi}{4}$ のとき

$$x = 1 - \cos \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$t = \frac{3}{4}\pi$ のとき

$$x = 1 - \cos \frac{3}{4}\pi = 1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$

(3)

(1)、(2) の結果から、$x$ と $y$ の増減表を作ると次のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{4}$	$\cdots$	$\frac{\pi}{2}$	$\cdots$	$\frac{3}{4}\pi$	$\cdots$	$\pi$
$\frac{dx}{dt}$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$0$
$x$	$0$	$\nearrow$	$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\nearrow$	$1$	$\nearrow$	$1+\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\nearrow$	$2$
$\frac{dy}{dx}$		$-$	$0$	$+$		$+$	$0$	$-$
$y$	$2$	$\searrow$	$1$	$\nearrow$	$2$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$2$

増減表より、曲線 $C$ は点 $(0, 2)$ を出発し、$x = 1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき極小値 $1$ をとり、点 $(1, 2)$ を通り、$x = 1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき極大値 $3$ をとり、点 $(2, 2)$ に至る。（※概形を解答欄に図示する指示があるが、ここでは増減の様子を示すにとどめる。）

(4)

$y = 2 - \sin 2t$ について、$-1 \leqq \sin 2t \leqq 1$ より $1 \leqq y \leqq 3$ となり、常に $y > 0$ である。求める面積 $S$ は、曲線 $C$ と $x = 2$、$x$ 軸、$y$ 軸で囲まれた部分の面積であるから

$$S = \int_{0}^{2} y \,dx$$

$x = 1 - \cos t$ より $dx = \sin t \,dt$ であり、$x$ と $t$ の対応は以下のようになる。

$x$	$0 \rightarrow 2$
$t$	$0 \rightarrow \pi$

したがって、置換積分法を用いると

$$\begin{aligned} S &= \int_{0}^{\pi} (2 - \sin 2t) \sin t \,dt \\ &= \int_{0}^{\pi} (2\sin t - 2\sin t \cos t \cdot \sin t) \,dt \\ &= \int_{0}^{\pi} (2\sin t - 2\sin^2 t \cos t) \,dt \end{aligned}$$

ここで

$$\int_{0}^{\pi} 2\sin t \,dt = \left[ -2\cos t \right]_{0}^{\pi} = -2(-1) - (-2 \cdot 1) = 4$$

$$\int_{0}^{\pi} 2\sin^2 t \cos t \,dt = \left[ \frac{2}{3}\sin^3 t \right]_{0}^{\pi} = 0 - 0 = 0$$

よって

$$S = 4 - 0 = 4$$

解説

媒介変数表示された曲線の微積分を扱う典型的な問題である。 (1) と (2) は計算ミスに気をつけて確実に処理したい。 (3) で増減表を書く際、$\frac{dx}{dt}$ の符号を調べることで、$t$ の増加に伴って $x$ が単調に増加していることを把握するのがポイントである。これにより、曲線が自身と交差したり、後戻りしたりしないことがわかる。 (4) の定積分では、$\sin 2t = 2\sin t \cos t$ と倍角の公式を用いて展開することで、$f(\sin t)\cos t$ の形を作り出すことができ、計算が容易になる。