数学3 定積分・面積 問題 187 解説

方針・初手

$y=|\cos x|$ の絶対値を外すため、$x$ の範囲を $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ と $\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$ に分けて考えます。$y=a \sin x$ との交点の $x$ 座標 $t, u$ における $\sin$ と $\cos$ の値を $a$ を用いて表し、定積分を用いて $S_1$ と $S_2$ を $a$ と $t$ の式で表すことが第一歩です。その後、$t$ を消去して面積を $a$ のみの関数とし、微分を用いて最小値を求めます。

解法1

曲線 $C_1 : y = |\cos x|$ と $C_2 : y = a \sin x$ ($a>0$) の交点について考える。

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき、$C_1 : y = \cos x$ である。 $C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標 $t$ は、

$$\cos t = a \sin t$$

を満たす。$\cos t = 0$ とすると $a \sin t = 0$ となり、$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ に矛盾するため、$\cos t \neq 0$ であり、$t \neq \frac{\pi}{2}$。よって $0 \leqq t < \frac{\pi}{2}$ であり、$\sin t > 0, \cos t > 0$。 上の式から、

$$\tan t = \frac{1}{a}$$

また、$\cos t = a \sin t$ を $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ に代入して、

$$(1 + a^2)\sin^2 t = 1 \iff \sin t = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$$

$$\cos t = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$$

$\frac{\pi}{2} < x \leqq \pi$ のとき、$C_1 : y = -\cos x$ である。 交点の $x$ 座標 $u$ は、

$$-\cos u = a \sin u \iff \tan u = -\frac{1}{a}$$

を満たす。$\tan u = -\tan t = \tan(\pi - t)$ であり、$0 < \pi - t \leqq \pi$ であるから、$u = \pi - t$ である。

次に、面積 $S_1, S_2$ を求める。 $0 \leqq x \leqq t$ のとき、$\cos x \geqq a \sin x$ であるから、

$$S_1 = \int_{0}^{t} (\cos x - a \sin x) \, dx = \Big[ \sin x + a \cos x \Big]_{0}^{t} = \sin t + a \cos t - a$$

$t \leqq x \leqq u$ のとき、$a \sin x \geqq |\cos x|$ である。積分区間を $x = \frac{\pi}{2}$ で分割して計算する。

$$S_2 = \int_{t}^{\frac{\pi}{2}} (a \sin x - \cos x) \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{u} (a \sin x - (-\cos x)) \, dx$$

$$\int_{t}^{\frac{\pi}{2}} (a \sin x - \cos x) \, dx = \Big[ -a \cos x - \sin x \Big]_{t}^{\frac{\pi}{2}} = -1 - (-a \cos t - \sin t) = a \cos t + \sin t - 1$$

後半の積分において $x = \pi - \theta$ と置換すると、$dx = -d\theta$ であり、積分区間は $\frac{\pi}{2} \to t$ となる。

$$\int_{\frac{\pi}{2}}^{u} (a \sin x + \cos x) \, dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^{t} (a \sin \theta - \cos \theta) (-d\theta) = \int_{t}^{\frac{\pi}{2}} (a \sin \theta - \cos \theta) \, d\theta$$

よって前半の積分と等しくなるため、

$$S_2 = 2 (a \cos t + \sin t - 1)$$

ゆえに、$S_1 + S_2$ は以下のようになる。

$$S_1 + S_2 = (\sin t + a \cos t - a) + 2(a \cos t + \sin t - 1) = 3\sin t + 3a \cos t - a - 2$$

ここで、$\cos t = a \sin t$ より $a \cos t = a^2 \sin t$ を代入する。

$$S_1 + S_2 = 3(1+a^2)\sin t - a - 2$$

$\sin t = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$ を代入して、

$$S_1 + S_2 = 3\sqrt{1+a^2} - a - 2$$

この $a$ の関数を $f(a)$ とおき、微分して増減を調べる。

$$f'(a) = 3 \cdot \frac{2a}{2\sqrt{1+a^2}} - 1 = \frac{3a - \sqrt{1+a^2}}{\sqrt{1+a^2}}$$

$f'(a) = 0$ とすると、

$$3a = \sqrt{1+a^2}$$

$a > 0$ に注意して両辺を2乗すると、

$$9a^2 = 1 + a^2 \iff 8a^2 = 1 \iff a = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

$a > 0$ における $f(a)$ の増減を調べる。 $0 < a < \frac{\sqrt{2}}{4}$ のとき $9a^2 < 1+a^2$ より $3a < \sqrt{1+a^2}$ となるため $f'(a) < 0$ である。 $a > \frac{\sqrt{2}}{4}$ のとき $9a^2 > 1+a^2$ より $3a > \sqrt{1+a^2}$ となるため $f'(a) > 0$ である。 したがって、$f(a)$ は $a = \frac{\sqrt{2}}{4}$ で極小かつ最小となる。

最小値は、

$$f\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 3\sqrt{1 + \frac{1}{8}} - \frac{\sqrt{2}}{4} - 2 = 3 \cdot \frac{3}{2\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{4} - 2 = \frac{8}{2\sqrt{2}} - 2 = 2\sqrt{2} - 2$$

解説

絶対値を含む三角関数のグラフで囲まれた面積の最小値を求める問題です。 交点の $x$ 座標 $t, u$ を具体的な角度として求めることはできませんが、$\sin t$ と $\cos t$ の値をパラメータ $a$ で表すことで、面積を $a$ だけの関数として立式できます。$x=\frac{\pi}{2}$ に関する図形の対称性を利用すると、$S_2$ の積分の計算量を半分に減らすことができます。最後は導関数を用いた関数の増減調べという、数学IIIの微積分における標準的な流れです。

答え

$a = \frac{\sqrt{2}}{4}$ のとき、最小値 $2\sqrt{2} - 2$