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数学3 定積分・面積問題 188 解説

方針・初手

3つの曲線 $C_1$, $C_2$, $C_3$ の交点の $x$ 座標を求め、区間ごとの上下関係を把握する。
$C_1$ と $C_3$ の交点の $x$ 座標は具体的な値として求まらないため、文字 $\alpha$ で置いて進め、後から $\tan \alpha = t$ などの関係式を用いて処理する。
$S_1$, $S_2$ を定積分で立式し、計算結果を比較して $t$ を求める。

解法1

(1)

曲線 $C_1: y = \sin x$ と $C_3: y = t\cos x$ の交点の $x$ 座標を求める。

$$\sin x = t\cos x$$

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において $\cos x = 0$ となる $x = \frac{\pi}{2}$ は交点ではないため、両辺を $\cos x$ で割ると

$$\tan x = t$$

$0 < t < 1$ であるから、この方程式を満たす $x$ は $0 < x < \frac{\pi}{4}$ の範囲にただ1つ存在する。これを $\alpha$ とおく。

$$\tan \alpha = t \quad \left( 0 < \alpha < \frac{\pi}{4} \right)$$

このとき、直角三角形を考えるか相互関係を用いることで

$$\sin \alpha = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}, \quad \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$$

であるとわかる。

$0 \leqq x \leqq \alpha$ の範囲では、$t\cos x \geqq \sin x$ であるため、$C_3$ が $C_1$ の上側にある。

したがって、求める面積 $S_1$ は

$$\begin{aligned} S_1 &= \int_0^\alpha (t\cos x - \sin x) dx \\ &= \left[ t\sin x + \cos x \right]_0^\alpha \\ &= (t\sin \alpha + \cos \alpha) - (0 + 1) \\ &= t \cdot \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} - 1 \\ &= \frac{t^2+1}{\sqrt{1+t^2}} - 1 \\ &= \sqrt{1+t^2} - 1 \end{aligned}$$

(2)

次に、3つの曲線で囲まれる部分の面積 $S_2$ を考える。

各曲線の交点は以下のようになる。

$C_1$ と $C_2$: $x = \frac{\pi}{4}$
$C_1$ と $C_3$: $x = \alpha$
$C_2$ と $C_3$: $x = \frac{\pi}{2}$

$\alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲における各曲線の上下関係は以下の通りである。

$\alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$ のとき、$\cos x \geqq \sin x \geqq t\cos x$ より $C_2 \geqq C_1 \geqq C_3$
$\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin x \geqq \cos x \geqq t\cos x$ より $C_1 \geqq C_2 \geqq C_3$

よって、$C_1, C_2, C_3$ で囲まれる領域は、上側の境界が $\alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$ で $C_1$、$\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ で $C_2$ となり、下側の境界は全体を通して $C_3$ となる。

したがって、面積 $S_2$ は

$$S_2 = \int_\alpha^{\frac{\pi}{4}} (\sin x - t\cos x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x - t\cos x) dx$$

ここで、それぞれの定積分を計算する。

第1項について、

$$\begin{aligned} \int_\alpha^{\frac{\pi}{4}} (\sin x - t\cos x) dx &= \left[ -\cos x - t\sin x \right]_\alpha^{\frac{\pi}{4}} \\ &= \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{t}{\sqrt{2}} \right) - (-\cos \alpha - t\sin \alpha) \\ &= -\frac{t+1}{\sqrt{2}} + (\cos \alpha + t\sin \alpha) \\ &= -\frac{t+1}{\sqrt{2}} + \sqrt{1+t^2} \end{aligned}$$

第2項について、

$$\begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (1-t)\cos x \, dx &= (1-t) \left[ \sin x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= (1-t) \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\ &= 1 - t - \frac{1-t}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

これらを足し合わせると、

$$\begin{aligned} S_2 &= \left( \sqrt{1+t^2} - \frac{t+1}{\sqrt{2}} \right) + \left( 1 - t - \frac{1-t}{\sqrt{2}} \right) \\ &= \sqrt{1+t^2} + 1 - t - \frac{(t+1) + (1-t)}{\sqrt{2}} \\ &= \sqrt{1+t^2} + 1 - t - \frac{2}{\sqrt{2}} \\ &= \sqrt{1+t^2} + 1 - t - \sqrt{2} \end{aligned}$$

条件 $S_1 = S_2$ より、

$$\sqrt{1+t^2} - 1 = \sqrt{1+t^2} + 1 - t - \sqrt{2}$$

整理すると、

$$-1 = 1 - t - \sqrt{2}$$

$$t = 2 - \sqrt{2}$$

$\sqrt{2} \approx 1.414$ より $t \approx 0.586$ であり、これは条件 $0 < t < 1$ を満たす。

このときの $S_1$ の値は、

$$\begin{aligned} S_1 &= \sqrt{1 + (2-\sqrt{2})^2} - 1 \\ &= \sqrt{1 + (4 - 4\sqrt{2} + 2)} - 1 \\ &= \sqrt{7 - 4\sqrt{2}} - 1 \end{aligned}$$

二重根号 $\sqrt{7-4\sqrt{2}}$ はこれ以上簡単な有理数の範囲で外せないため、これが最終的な値となる。

解説

交点が具体的な角度として求まらない場合、$\alpha$ などの文字で置き、$\tan \alpha = t$ などの関係式から $\sin \alpha$ や $\cos \alpha$ を導出する手法は頻出である。
複数の曲線で囲まれた面積を求める際は、グラフの上下関係が途中で入れ替わる点に注意し、積分区間を正しく分割することが重要である。
$S_1$ と $S_2$ の式中に共通の $\sqrt{1+t^2}$ が現れるため、等式 $S_1 = S_2$ を解く際の計算は容易になる。最後まで正確に計算し切る力が求められる。