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数学3 定積分・面積問題 189 解説

方針・初手

(1)は導関数を求め、増減表を作成して極値を求める標準的な問題である。積の微分法と合成関数の微分法を正確に適用する。
(2)は部分積分法を用いる。$x^2e^{-x^2}$ を $x \cdot (xe^{-x^2})$ と見なし、$(e^{-x^2})' = -2xe^{-x^2}$ を利用して積分を計算する。
(3)は定積分による面積計算である。まず積分区間における $f(x)$ の正負を調べ、積分を分割して絶対値を外す。(2)の誘導を利用して $\int f(x) dx$ を求める工夫が必要である。

解法1

(1)

$f(x) = (-4x^2+2)e^{-x^2}$ を微分する。積の微分法および合成関数の微分法より、

$$\begin{aligned} f'(x) &= (-8x)e^{-x^2} + (-4x^2+2) \cdot (-2x)e^{-x^2} \\ &= -8xe^{-x^2} + (8x^3 - 4x)e^{-x^2} \\ &= (8x^3 - 12x)e^{-x^2} \\ &= 4x(2x^2 - 3)e^{-x^2} \end{aligned}$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は、$e^{-x^2} > 0$ であるため

$$4x(2x^2 - 3) = 0$$

これを解いて $x = 0, \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ である。増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$-\frac{\sqrt{6}}{2}$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\frac{\sqrt{6}}{2}$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

極大値は $x=0$ のとき、

$$f(0) = (0+2)e^0 = 2$$

極小値は $x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ のとき、

$$f\left(\pm \frac{\sqrt{6}}{2}\right) = \left\{-4 \left(\frac{6}{4}\right) + 2\right\} e^{-\frac{6}{4}} = (-6+2)e^{-\frac{3}{2}} = -4e^{-\frac{3}{2}}$$

(2)

部分積分法を用いる。$-2xe^{-x^2} = (e^{-x^2})'$ であることを利用し、被積分関数を $x \cdot (xe^{-x^2}) = x \cdot \left\{-\frac{1}{2}(e^{-x^2})'\right\}$ と変形する。

$$\begin{aligned} \int_0^a x^2 e^{-x^2} dx &= \int_0^a x \cdot \left(-\frac{1}{2} e^{-x^2}\right)' dx \\ &= \left[ -\frac{x}{2} e^{-x^2} \right]_0^a - \int_0^a 1 \cdot \left(-\frac{1}{2} e^{-x^2}\right) dx \\ &= -\frac{a}{2} e^{-a^2} + \frac{1}{2} \int_0^a e^{-x^2} dx \\ &= -\frac{a}{2} e^{-a^2} + \frac{1}{2} I(a) \end{aligned}$$

(3)

曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸、$y$ 軸、$x=5$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。区間 $0 \leqq x \leqq 5$ における $f(x)$ の正負を調べる。 $e^{-x^2} > 0$ であるから、$f(x) = (-4x^2+2)e^{-x^2} = -2(2x^2-1)e^{-x^2}$ の符号は $1-2x^2$ の符号と一致する。 $1-2x^2 \geqq 0$ を解くと $x^2 \leqq \frac{1}{2}$ より $-\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq x \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}$ であるため、積分区間 $0 \leqq x \leqq 5$ においては

$0 \leqq x \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $f(x) \geqq 0$
$\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq x \leqq 5$ のとき $f(x) \leqq 0$

となる。したがって、求める面積 $S$ は

$$S = \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} f(x) dx + \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^5 \{-f(x)\} dx$$

ここで、(2)の結果を用いると、任意の $x \geqq 0$ に対して

$$\int_0^x t^2 e^{-t^2} dt = -\frac{x}{2} e^{-x^2} + \frac{1}{2} \int_0^x e^{-t^2} dt$$

が成り立つ。両辺を $-4$ 倍すると

$$\int_0^x (-4t^2) e^{-t^2} dt = 2xe^{-x^2} - 2 \int_0^x e^{-t^2} dt$$

両辺に $\int_0^x 2e^{-t^2} dt$ を加えると

$$\int_0^x (-4t^2+2) e^{-t^2} dt = 2xe^{-x^2}$$

すなわち

$$\int_0^x f(t) dt = 2xe^{-x^2}$$

となる。したがって、関数 $F(x) = 2xe^{-x^2}$ は $f(x)$ の原始関数の1つである。これを用いて面積 $S$ を計算する。

$$\begin{aligned} S &= \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} f(x) dx - \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^5 f(x) dx \\ &= \left[ 2xe^{-x^2} \right]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} - \left[ 2xe^{-x^2} \right]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^5 \\ &= \left( 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{1}{2}} - 0 \right) - \left( 2 \cdot 5 e^{-25} - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{1}{2}} \right) \\ &= \sqrt{2} e^{-\frac{1}{2}} - 10e^{-25} + \sqrt{2} e^{-\frac{1}{2}} \\ &= 2\sqrt{2} e^{-\frac{1}{2}} - 10e^{-25} \end{aligned}$$

解説

$e^{-x^2}$ の不定積分 $\int e^{-x^2} dx$ は初等関数で表せないことが知られている。そのため、(2)のように積分記号 $I(a)$ を用いたまま表現することになる。
(3)では、直接 $f(x)$ を積分しようとするとつまずきやすい。式をよく観察し、$\int f(x) dx = -4\int x^2e^{-x^2}dx + 2\int e^{-x^2}dx$ と分割することで、(2)の等式がそのまま利用できることに気付くかがポイントである。(2)が計算を劇的に楽にする強力な誘導として機能している。