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数学3 定積分・面積問題 195 解説

方針・初手

(1) 曲線上の点 P における接線ベクトルの成分を微分によって求め、それに垂直な法線ベクトルから法線の方程式を立てる。その直線と原点との距離を調べ、円の半径と一致することを示す。 (2) 曲線 C の概形と各端点の座標を把握し、媒介変数表示された曲線の面積の公式 $S = \int y \, dx$ に従って置換積分を行う。被積分関数の三角関数は2倍角の公式などを用いて次数を下げ、部分積分法により計算を進める。

解法1

(1) 与えられた方程式は

$$\begin{cases} x = \cos\theta + \theta\sin\theta \\ y = \sin\theta - \theta\cos\theta \end{cases}$$

である。両辺を $\theta$ について微分すると

$$\begin{aligned} \frac{dx}{d\theta} &= -\sin\theta + \sin\theta + \theta\cos\theta = \theta\cos\theta \\ \frac{dy}{d\theta} &= \cos\theta - (\cos\theta - \theta\sin\theta) = \theta\sin\theta \end{aligned}$$

となる。$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\frac{dx}{d\theta} \neq 0$ であり、点 P における接線の傾きは

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{\theta\sin\theta}{\theta\cos\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

である。したがって、点 P における法線の傾きは $-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ となる。法線の方程式は

$$y - (\sin\theta - \theta\cos\theta) = -\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \{ x - (\cos\theta + \theta\sin\theta) \}$$

両辺に $\sin\theta$ を掛け、展開して整理すると

$$y\sin\theta - \sin^2\theta + \theta\sin\theta\cos\theta = -x\cos\theta + \cos^2\theta + \theta\sin\theta\cos\theta$$

$$x\cos\theta + y\sin\theta = \sin^2\theta + \cos^2\theta$$

$$x\cos\theta + y\sin\theta - 1 = 0$$

となる。原点 $(0, 0)$ とこの法線との距離 $d$ は

$$d = \frac{|0 \cdot \cos\theta + 0 \cdot \sin\theta - 1|}{\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}} = \frac{|-1|}{1} = 1$$

である。この距離が円 $x^2 + y^2 = 1$ の半径に等しいため、点 P における法線は円 $x^2 + y^2 = 1$ に接する。

(2) $\theta = 0$ のとき、点 P は $(1, 0)$ すなわち点 A である。 $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、点 P は $(\frac{\pi}{2}, 1)$ すなわち点 B である。 $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$\frac{dx}{d\theta} = \theta\cos\theta \ge 0$ より $x$ は単調増加であり、$\frac{dy}{d\theta} = \theta\sin\theta \ge 0$ かつ $y(0) = 0$ より $y \ge 0$ である。求める面積を $S$ とすると、曲線 C と直線 $x = \frac{\pi}{2}$ および $x$ 軸で囲まれた図形の面積であるため

$$S = \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} y \, dx$$

となる。$x$ を $\theta$ に置換して定積分を計算する。

$$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} y \frac{dx}{d\theta} d\theta$$

$$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin\theta - \theta\cos\theta)\theta\cos\theta \, d\theta$$

$$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\theta\sin\theta\cos\theta - \theta^2\cos^2\theta) \, d\theta$$

2倍角・半角の公式を用いて変形すると

$$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{2}\theta\sin 2\theta - \theta^2 \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \right) d\theta$$

$$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta\sin 2\theta \, d\theta - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta^2 \, d\theta - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta^2\cos 2\theta \, d\theta$$

各項の定積分を部分積分法により求める。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta\sin 2\theta \, d\theta = \left[ \theta \left( -\frac{1}{2}\cos 2\theta \right) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \cdot \left( -\frac{1}{2}\cos 2\theta \right) d\theta = \frac{\pi}{4} + \left[ \frac{1}{4}\sin 2\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta^2 \, d\theta = \left[ \frac{1}{3}\theta^3 \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi^3}{24}$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta^2\cos 2\theta \, d\theta = \left[ \theta^2 \left( \frac{1}{2}\sin 2\theta \right) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\theta \left( \frac{1}{2}\sin 2\theta \right) d\theta = 0 - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta\sin 2\theta \, d\theta = -\frac{\pi}{4}$$

これらを $S$ の式に代入する。

$$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^3}{24} - \frac{1}{2} \left( -\frac{\pi}{4} \right)$$

$$S = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi^3}{48} + \frac{\pi}{8}$$

$$S = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi^3}{48}$$

解法2

(2) 求める面積 $S$ は、積分の部分積分法を用いて

$$\int_{1}^{\frac{\pi}{2}} y \, dx = [xy]_{x=1}^{x=\frac{\pi}{2}} - \int_{y=0}^{y=1} x \, dy$$

と計算することもできる。各端点の値は $\theta = 0$ で $(x, y) = (1, 0)$、$\theta = \frac{\pi}{2}$ で $(x, y) = (\frac{\pi}{2}, 1)$ であるから

$$S = \frac{\pi}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 0 - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \frac{dy}{d\theta} d\theta$$

$$S = \frac{\pi}{2} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos\theta + \theta\sin\theta)\theta\sin\theta \, d\theta$$

$$S = \frac{\pi}{2} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\theta\sin\theta\cos\theta + \theta^2\sin^2\theta) \, d\theta$$

2倍角・半角の公式を用いて変形すると

$$S = \frac{\pi}{2} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{2}\theta\sin 2\theta + \theta^2 \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \right) d\theta$$

$$S = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta\sin 2\theta \, d\theta - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta^2 \, d\theta + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta^2\cos 2\theta \, d\theta$$

解法1と同様に各定積分を計算する。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta\sin 2\theta \, d\theta = \frac{\pi}{4}$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta^2 \, d\theta = \frac{\pi^3}{24}$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \theta^2\cos 2\theta \, d\theta = -\frac{\pi}{4}$$

これらを代入して

$$S = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{\pi^3}{24} \right) + \frac{1}{2} \left( -\frac{\pi}{4} \right)$$

$$S = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8} - \frac{\pi^3}{48} - \frac{\pi}{8}$$

$$S = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi^3}{48}$$

となる。

解説

本問は伸開線（インボリュート曲線）を題材にした微積分における標準的な問題である。 (1)では、パラメータ表示された曲線の導関数を正確に計算し、法線の方程式を導く。点と直線の距離の公式を用いて円に接することを示す手順は定石である。ここで求めた法線が、図中の「糸」そのものを含む直線になっているという幾何学的背景がある。 (2)では、媒介変数表示された曲線の面積を置換積分により求める。被積分関数に $\theta\sin 2\theta$ や $\theta^2\cos 2\theta$ などが含まれるため、部分積分を繰り返し行う必要があり、正確な計算力が問われる。$\int y \, dx$ ではなく $\int x \, dy$ を利用する部分積分を最初に行うと（解法2）、展開後の符号の違いから計算ミスを防ぎやすくなる場合がある。