数学3 定積分・面積 問題 196 解説

方針・初手

曲線と直線で囲まれた図形の面積 $S_1$ と $S_2$ をそれぞれ定積分を用いて立式する。 (1) は $S_1 = S_2$ を $S_1 - S_2 = 0$ と見なすことで、定積分の積分区間が繋がり、被積分関数が整理される性質を利用する。 (2) は面積の和 $S_1 + S_2$ を $\alpha$ の関数として表し、$\alpha$ について微分して増減表を作成し、最小値を求める。

解法1

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において、$\cos x \geqq 0$ であるから、関数 $y = \cos^3 x$ は単調減少する。 直線 $y = \cos^3 \alpha$ と曲線 $y = \cos^3 x$ は $x = \alpha$ でのみ交わる。 よって、図形 $D_1$ と $D_2$ の面積 $S_1$、$S_2$ はそれぞれ次のように表される。

$$S_1 = \int_{0}^{\alpha} (\cos^3 x - \cos^3 \alpha) dx$$

$$S_2 = \int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}} (\cos^3 \alpha - \cos^3 x) dx$$

(1)

$S_1 = S_2$ より $S_1 - S_2 = 0$ であるから、

$$\begin{aligned} S_1 - S_2 &= \int_{0}^{\alpha} (\cos^3 x - \cos^3 \alpha) dx - \int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}} (\cos^3 \alpha - \cos^3 x) dx \\ &= \int_{0}^{\alpha} (\cos^3 x - \cos^3 \alpha) dx + \int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}} (\cos^3 x - \cos^3 \alpha) dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos^3 x - \cos^3 \alpha) dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \alpha dx \end{aligned}$$

ここで、

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2 x) \cos x dx \\ &= \left[ \sin x - \frac{1}{3} \sin^3 x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \end{aligned}$$

また、$\cos^3 \alpha$ は $x$ に無関係な定数であるから、

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \alpha dx = \frac{\pi}{2} \cos^3 \alpha$$

したがって、

$$\frac{2}{3} - \frac{\pi}{2} \cos^3 \alpha = 0$$

よって、

$$\cos^3 \alpha = \frac{4}{3\pi}$$

ゆえに、求める値は、

$$\cos \alpha = \sqrt[3]{\frac{4}{3\pi}}$$

(2)

面積の和を $S(\alpha) = S_1 + S_2$ とおく。

$$\begin{aligned} S(\alpha) &= \int_{0}^{\alpha} (\cos^3 x - \cos^3 \alpha) dx + \int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}} (\cos^3 \alpha - \cos^3 x) dx \\ &= \int_{0}^{\alpha} \cos^3 x dx - \alpha \cos^3 \alpha + \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \cos^3 \alpha - \int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx \\ &= \int_{0}^{\alpha} \cos^3 x dx - \int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx + \left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) \cos^3 \alpha \end{aligned}$$

これを $\alpha$ について微分する。

$$\begin{aligned} S'(\alpha) &= \frac{d}{d\alpha} \left\{ \int_{0}^{\alpha} \cos^3 x dx - \int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx + \left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) \cos^3 \alpha \right\} \\ &= \cos^3 \alpha - (-\cos^3 \alpha) + (-2) \cdot \cos^3 \alpha + \left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) \cdot 3\cos^2 \alpha (-\sin \alpha) \\ &= 2\cos^3 \alpha - 2\cos^3 \alpha - 3\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) \sin \alpha \cos^2 \alpha \\ &= 3\left(2\alpha - \frac{\pi}{2}\right) \sin \alpha \cos^2 \alpha \end{aligned}$$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$\sin \alpha > 0$ かつ $\cos^2 \alpha > 0$ であるから、$S'(\alpha)$ の符号は $2\alpha - \frac{\pi}{2}$ の符号と一致する。 したがって、$S'(\alpha) = 0$ となるのは $\alpha = \frac{\pi}{4}$ のときのみであり、増減表は以下のようになる。

増減表より、$S(\alpha)$ は $\alpha = \frac{\pi}{4}$ のとき最小となる。 このとき、$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であり、第3項 $\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) \cos^3 \alpha$ は $0$ になるため、

$$\begin{aligned} S\left(\frac{\pi}{4}\right) &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^3 x dx - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx \\ &= \left[ \sin x - \frac{1}{3} \sin^3 x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \left[ \sin x - \frac{1}{3} \sin^3 x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} \right) - \left\{ \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} \right) \right\} \\ &= \frac{5\sqrt{2}}{12} - \left( \frac{2}{3} - \frac{5\sqrt{2}}{12} \right) \\ &= \frac{10\sqrt{2}}{12} - \frac{2}{3} \\ &= \frac{5\sqrt{2} - 4}{6} \end{aligned}$$

よって、求める最小値は $\frac{5\sqrt{2} - 4}{6}$ である。

解説

(1) において $S_1 = S_2$ をそのまま計算しようとすると手間がかかるが、$S_1 - S_2 = 0$ と変形することで、定積分の積分区間が $[0, \frac{\pi}{2}]$ と1つにまとまり、大幅に計算量が減る。これは面積の等式を扱う際の典型的な工夫である。 (2) の面積の和の最小値問題では、定積分で表された関数を積分区間の端点や被積分関数に含まれる文字で微分する計算力が問われる。積の微分法に注意して丁寧に導関数を求め、正しい増減表を作ることが鍵となる。

答え

(1) $\cos \alpha = \sqrt[3]{\frac{4}{3\pi}}$

(2) $\frac{5\sqrt{2}-4}{6}$