数学3 定積分・面積 問題 197 解説

方針・初手

被積分関数が $x^n \log x$ の形をしているため、部分積分法を用いる。対数関数 $\log x$ は微分すると $\frac{1}{x}$ となり多項式の形に帰着できるため、$x^4$ を積分側に回し、$\log x$ を微分側に回す方針で計算を進める。

解法1

求める不定積分を計算する。積分定数を $C$ とする。

$$\int x^4 \log x dx = \int \left( \frac{x^5}{5} \right)' \log x dx$$

部分積分法を用いると、

$$\int \left( \frac{x^5}{5} \right)' \log x dx = \frac{x^5}{5} \log x - \int \frac{x^5}{5} \cdot (\log x)' dx$$

$$= \frac{x^5}{5} \log x - \int \frac{x^5}{5} \cdot \frac{1}{x} dx$$

$$= \frac{x^5}{5} \log x - \frac{1}{5} \int x^4 dx$$

$$= \frac{x^5}{5} \log x - \frac{1}{5} \cdot \frac{x^5}{5} + C$$

$$= \frac{1}{5} x^5 \log x - \frac{1}{25} x^5 + C$$

となる。整理して $\frac{x^5}{25} (5 \log x - 1) + C$ と表してもよい。

解説

多項式（または $x$ の累乗）と対数関数 $\log x$ の積の積分は、部分積分の最も基本的な典型パターンのひとつである。「対数関数は微分側に回す」「多項式は積分側に回す」という原則に従えば、必ず容易に積分可能な形に帰着できる。不定積分の計算結果であるため、最後に積分定数 $C$ を書き忘れないように注意すること。

答え

$\frac{1}{5} x^5 \log x - \frac{1}{25} x^5 + C$ （$C$ は積分定数）