数学3 定積分・面積 問題 198 解説

方針・初手

(1) 左辺の積分区間が $0$ から $n$ であり、右辺の積分区間が $0$ から $1$ である。また、左辺の被積分関数には $\frac{x}{n}$ という形が含まれていることから、$x = nt$ と置換積分を行うことで積分区間と被積分関数の形を整える。その後、被積分関数同士の大小を比較する。

(2) (1)の不等式と、問題文で与えられた $\log(1+x) \leqq \log 2$ を手がかりにして、はさみうちの原理を用いて極限値を求める。(1)の右辺の定積分を実際に計算し、その値が極限値となることを示す。

解法1

(1)

与えられた定積分

$$\int_0^n f_n(x) dx = \int_0^n \frac{x}{n(1+x)} \log\left(1 + \frac{x}{n}\right) dx$$

において、$x = nt$ とおく。 $dx = n dt$ であり、積分区間は $x: 0 \to n$ のとき $t: 0 \to 1$ となる。

$$\begin{aligned} \int_0^n f_n(x) dx &= \int_0^1 \frac{nt}{n(1+nt)} \log\left(1 + \frac{nt}{n}\right) \cdot n dt \\ &= \int_0^1 \frac{nt}{1+nt} \log(1+t) dt \end{aligned}$$

ここで、積分変数を $x$ に戻すと

$$\int_0^n f_n(x) dx = \int_0^1 \frac{nx}{1+nx} \log(1+x) dx$$

となる。次に、区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において被積分関数を比較する。 $n$ は自然数（$n \geqq 1$）であるから、$0 \leqq x \leqq 1$ のとき $1+nx > 0$ であり、

$$1 - \frac{nx}{1+nx} = \frac{1}{1+nx} > 0$$

よって

$$\frac{nx}{1+nx} < 1$$

が成り立つ。さらに、$0 \leqq x \leqq 1$ のとき $\log(1+x) \geqq 0$ であるから、両辺に $\log(1+x)$ を掛けて

$$\frac{nx}{1+nx} \log(1+x) \leqq \log(1+x)$$

この両辺を区間 $[0, 1]$ で定積分すると

$$\int_0^1 \frac{nx}{1+nx} \log(1+x) dx \leqq \int_0^1 \log(1+x) dx$$

したがって

$$\int_0^n f_n(x) dx \leqq \int_0^1 \log(1+x) dx$$

が示された。

(2)

(1)より、

$$I_n = \int_0^1 \frac{nx}{1+nx} \log(1+x) dx$$

である。ここで、$J = \int_0^1 \log(1+x) dx$ とおき、部分積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} J &= \int_0^1 (x+1)' \log(x+1) dx \\ &= \Big[ (x+1)\log(x+1) \Big]_0^1 - \int_0^1 (x+1) \cdot \frac{1}{x+1} dx \\ &= 2\log 2 - \int_0^1 1 dx \\ &= 2\log 2 - \Big[ x \Big]_0^1 \\ &= 2\log 2 - 1 \end{aligned}$$

次に、$J - I_n$ について考える。(1)の途中の不等式から $\frac{nx}{1+nx} \log(1+x) \leqq \log(1+x)$ であるため、$J - I_n \geqq 0$ である。

$$\begin{aligned} 0 \leqq J - I_n &= \int_0^1 \log(1+x) dx - \int_0^1 \frac{nx}{1+nx} \log(1+x) dx \\ &= \int_0^1 \left(1 - \frac{nx}{1+nx}\right) \log(1+x) dx \\ &= \int_0^1 \frac{1}{1+nx} \log(1+x) dx \end{aligned}$$

問題の条件より、$0 \leqq x \leqq 1$ のとき $\log(1+x) \leqq \log 2$ であるから、

$$\begin{aligned} \int_0^1 \frac{1}{1+nx} \log(1+x) dx &\leqq \int_0^1 \frac{1}{1+nx} \log 2 dx \\ &= \log 2 \left[ \frac{1}{n} \log(1+nx) \right]_0^1 \\ &= \frac{\log 2}{n} \log(1+n) \end{aligned}$$

ここで、$n \to \infty$ のときの極限を考える。

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\log(1+n)}{n} = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{\log(1+n)}{1+n} \cdot \frac{1+n}{n} \right)$$

問題の条件 $\lim_{x\to\infty} \frac{\log x}{x} = 0$ を用いると、$\lim_{n\to\infty} \frac{\log(1+n)}{1+n} = 0$ である。また、$\lim_{n\to\infty} \frac{1+n}{n} = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n} + 1\right) = 1$ であるから、

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\log(1+n)}{n} = 0 \cdot 1 = 0$$

となる。したがって、

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\log 2}{n} \log(1+n) = 0$$

はさみうちの原理より、

$$\lim_{n\to\infty} (J - I_n) = 0$$

すなわち

$$\lim_{n\to\infty} I_n = J = 2\log 2 - 1$$

よって、数列 $\{I_n\}$ は収束し、その極限値は $2\log 2 - 1$ である。

解説

定積分の極限を求める典型的な問題である。直接積分できない関数の極限を考える際は、不等式評価によってはさみうちの原理に持ち込むのが定石である。(1)が(2)の極限の候補を教えるとともに、不等式評価の基準となるための誘導になっている。また、極限の計算で $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ を使うために、$\frac{\log(1+n)}{n}$ を $\frac{\log(1+n)}{1+n} \cdot \frac{1+n}{n}$ と変形する工夫が必要である。

答え

(1) 解説の通り

(2) 極限値は $2\log 2 - 1$ であり、収束する。