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数学3 定積分・面積問題 199 解説

方針・初手

2曲線の交点は、2式を連立して方程式を解くことで求める。分数方程式となるため、分母が $0$ にならない条件（$x \neq 4$）に注意して処理する。

面積を求めるにあたっては、まず $C_1$ と $C_2$ の概形を把握する。$C_1$ は双曲線であり、漸近線の位置を確認する。$C_2$ は放物線である。求めた交点の $x$ 座標と漸近線の位置関係から、囲まれた図形が存在する区間を特定し、上下関係を調べて定積分を計算する。

解法1

(1)

$C_1, C_2$ の方程式を連立する。$x \neq 4$ のもとで、

$$\frac{x-3}{x-4} = \frac{1}{4}(x-1)(x-3)$$

移項して因数分解すると、

$$(x-3) \left\{ \frac{1}{x-4} - \frac{1}{4}(x-1) \right\} = 0$$

これより、$x = 3$ または $\frac{1}{x-4} = \frac{1}{4}(x-1)$ である。

後者の式において分母を払うと、

$$4 = (x-1)(x-4)$$

展開して整理すると、

$$x^2 - 5x = 0$$

$$x(x-5) = 0$$

よって、$x = 0, 5$ を得る。これらは $x \neq 4$ を満たす。

以上から、交点の $x$ 座標は $x = 0, 3, 5$ である。それぞれの方程式に代入して $y$ 座標を求めると、 $x = 0$ のとき $y = \frac{3}{4}$ $x = 3$ のとき $y = 0$ $x = 5$ のとき $y = 2$

したがって、求める交点は以下の通りである。

$$\left( 0, \frac{3}{4} \right), (3, 0), (5, 2)$$

(2)

まず、各曲線の概形を調べる。

$C_1$ について、式を変形すると、

$$y = \frac{x-4+1}{x-4} = 1 + \frac{1}{x-4}$$

したがって、$C_1$ は漸近線が $x=4, y=1$ である双曲線である。

$C_2$ について、式を展開・平方完成すると、

$$y = \frac{1}{4}(x^2 - 4x + 3) = \frac{1}{4}(x-2)^2 - \frac{1}{4}$$

したがって、$C_2$ は頂点が $\left( 2, -\frac{1}{4} \right)$ で下に凸の放物線である。また、$x$ 軸との交点は $(1, 0), (3, 0)$ である。

(1) で求めた交点の座標と、漸近線 $x=4$ の存在を考慮すると、$C_1$ と $C_2$ で囲まれた図形は $0 \leqq x \leqq 3$ の区間に存在する。この区間における上下関係を調べるため、$C_1$ と $C_2$ の $y$ の値の差をとる。

$$\frac{x-3}{x-4} - \frac{1}{4}(x-1)(x-3) = \frac{x-3}{4(x-4)} \{ 4 - (x-1)(x-4) \}$$

$$= \frac{x-3}{4(x-4)} (-x^2 + 5x)$$

$$= \frac{-x(x-3)(x-5)}{4(x-4)}$$

$0 < x < 3$ において、各因数の符号は $x > 0, x-3 < 0, x-5 < 0, x-4 < 0$ となる。したがって、全体の符号は正となるため、この区間で $C_1$ は $C_2$ の上側にある。

求める面積を $S$ とすると、

$$S = \int_{0}^{3} \left\{ \frac{x-3}{x-4} - \frac{1}{4}(x-1)(x-3) \right\} dx$$

それぞれの項を別々に積分する。第1項については、

$$\int_{0}^{3} \frac{x-3}{x-4} dx = \int_{0}^{3} \left( 1 + \frac{1}{x-4} \right) dx = \Big[ x + \log|x-4| \Big]_{0}^{3}$$

$$= (3 + \log 1) - (0 + \log 4) = 3 - 2\log 2$$

第2項については、

$$\int_{0}^{3} \frac{1}{4}(x-1)(x-3) dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{3} (x^2 - 4x + 3) dx$$

$$= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_{0}^{3} = \frac{1}{4} (9 - 18 + 9) = 0$$

よって、求める面積 $S$ は、

$$S = 3 - 2\log 2 - 0 = 3 - 2\log 2$$

解説

分数関数と二次関数の交点および囲まれた図形の面積を求める典型問題である。方程式を解く際に、共通因数である $(x-3)$ で両辺を割ってしまうと $x=3$ という解を失うため、移項して因数分解する手順を踏むことが重要である。面積の計算においては、$C_2$ の定積分 $\int_0^3 \frac{1}{4}(x-1)(x-3) dx$ がたまたま $0$ になる。これに気づけると計算の負担を減らすことができる。グラフの概形を描く際は、漸近線との位置関係や交点の座標を正確に反映させることで、積分区間と上下関係を正しく把握できる。