数学3 定積分・面積 問題 200 解説

方針・初手

• (1)は $0 \leqq |x|^m \leqq k$ をみたす整数 $x$ の個数を評価する。実数 $x$ の範囲を求め、その区間に含まれる整数の個数をガウス記号などの考え方を用いて表す。
• (2)は $S_n$ を $y$ で場合分けして数え上げることで $\sum$ を用いて表し、(1)の不等式を利用して評価する。
• (3)は (2)で得られた不等式を用いてはさみうちの原理を適用し、極限値を求める。その際、区分求積法を利用して $\sum$ の極限を定積分に帰着させる。

解法1

(1)

不等式 $0 \leqq |x|^m \leqq k$ を解くと、

$$0 \leqq |x| \leqq k^{\frac{1}{m}}$$

となる。これを満たす整数 $x$ は、

$$-k^{\frac{1}{m}} \leqq x \leqq k^{\frac{1}{m}}$$

を満たす。実数 $k^{\frac{1}{m}}$ の整数部分を $L$ （$L$ は $0$ 以上の整数）とすると、$L \leqq k^{\frac{1}{m}} < L+1$ が成り立つ。 このとき、条件を満たす整数 $x$ は $-L \leqq x \leqq L$ であり、その個数 $N_k$ は、

$$N_k = L - (-L) + 1 = 2L + 1$$

である。$L \leqq k^{\frac{1}{m}} < L+1$ より $k^{\frac{1}{m}} - 1 < L \leqq k^{\frac{1}{m}}$ であるから、各辺を $2$ 倍して $1$ を加えると、

$$2k^{\frac{1}{m}} - 1 < 2L + 1 \leqq 2k^{\frac{1}{m}} + 1$$

すなわち、

$$2k^{\frac{1}{m}} - 1 < N_k \leqq 2k^{\frac{1}{m}} + 1$$

が成り立つ。したがって、

$$2k^{\frac{1}{m}} - 1 \leqq N_k \leqq 2k^{\frac{1}{m}} + 1$$

が示された。

(2)

$S_n$ は $0 \leqq |x|^m \leqq y \leqq n$ をみたす整数 $x, y$ の組の個数である。 $y$ を $0 \leqq y \leqq n$ なる整数として固定したとき、条件を満たす $x$ の個数は、(1)で定義した $N_y$ である。 ここで、$y=0$ のとき、$0 \leqq |x|^m \leqq 0$ より $x=0$ のみであり、$N_0 = 1$ である。 したがって、$S_n$ は $y$ を $0$ から $n$ まで動かしたときの $N_y$ の和として表される。

$$S_n = \sum_{y=0}^n N_y = N_0 + \sum_{y=1}^n N_y = 1 + \sum_{k=1}^n N_k$$

(1)の結果から、各 $k=1, 2, \dots, n$ に対して、

$$-1 \leqq N_k - 2k^{\frac{1}{m}} \leqq 1$$

が成り立つ。この不等式の各辺の $k=1$ から $n$ までの和をとると、

$$\sum_{k=1}^n (-1) \leqq \sum_{k=1}^n \left( N_k - 2k^{\frac{1}{m}} \right) \leqq \sum_{k=1}^n 1$$

$$-n \leqq \sum_{k=1}^n N_k - 2\sum_{k=1}^n k^{\frac{1}{m}} \leqq n$$

ここで、$\sum_{k=1}^n N_k = S_n - 1$ を代入すると、

$$-n \leqq S_n - 1 - 2\sum_{k=1}^n k^{\frac{1}{m}} \leqq n$$

絶対値を用いて表すと、

$$\left| S_n - 1 - 2\sum_{k=1}^n k^{\frac{1}{m}} \right| \leqq n$$

となり、示された。

(3)

(2)で示した不等式の各辺を $n^{1+\frac{1}{m}}$ （$n>0$ より正）で割ると、

$$-\frac{n}{n^{1+\frac{1}{m}}} \leqq \frac{S_n - 1 - 2\sum_{k=1}^n k^{\frac{1}{m}}}{n^{1+\frac{1}{m}}} \leqq \frac{n}{n^{1+\frac{1}{m}}}$$

$$-\frac{1}{n^{\frac{1}{m}}} \leqq \frac{S_n}{n^{1+\frac{1}{m}}} - \frac{1}{n^{1+\frac{1}{m}}} - \frac{2}{n^{1+\frac{1}{m}}}\sum_{k=1}^n k^{\frac{1}{m}} \leqq \frac{1}{n^{\frac{1}{m}}}$$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n^{\frac{1}{m}}} \to 0$ であるから、はさみうちの原理より、

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{S_n}{n^{1+\frac{1}{m}}} - \frac{1}{n^{1+\frac{1}{m}}} - \frac{2}{n^{1+\frac{1}{m}}}\sum_{k=1}^n k^{\frac{1}{m}} \right) = 0$$

ここで、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1+\frac{1}{m}}} = 0$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^{1+\frac{1}{m}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{1+\frac{1}{m}}}\sum_{k=1}^n k^{\frac{1}{m}}$$

右辺の極限は区分求積法を用いて計算できる。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{1+\frac{1}{m}}}\sum_{k=1}^n k^{\frac{1}{m}} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \frac{k}{n} \right)^{\frac{1}{m}}$$

$$= 2 \int_0^1 x^{\frac{1}{m}} dx$$

$$= 2 \left[ \frac{1}{\frac{1}{m}+1} x^{\frac{1}{m}+1} \right]_0^1$$

$$= 2 \cdot \frac{m}{m+1}$$

$$= \frac{2m}{m+1}$$

したがって、求める極限値は、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^{1+\frac{1}{m}}} = \frac{2m}{m+1}$$

である。

解説

• 領域内の格子点の個数を評価して極限を求める典型的な問題である。
• (1)の不等式評価では、ガウス記号などを用いて整数部分を明確にすることで、厳密な証明が可能になる。
• (2)は、$S_n$ を $y$ について区分け（スライス）して和をとる考え方が重要である。和をとる際に、(1)の不等式の両辺の和をとることで、絶対値の不等式が得られる。
• (3)は、不等式ではさまれた式の極限を求めるため、はさみうちの原理を適用する。極限を計算する過程で現れる和の極限は、式を $\frac{1}{n}$ と $\frac{k}{n}$ の関数に変形し、区分求積法を用いるのが定石である。

答え

(1) 略（証明問題）

(2) 略（証明問題）

(3) $\frac{2m}{m+1}$