数学3 定積分・面積 問題 201 解説

方針・初手

微分積分学の基本定理を用いる。(1)は恒等式の両辺を微分し、連続関数の性質を用いて定数を決定する。(2)は導関数の符号を調べる。(3)は(2)の単調増加性と中間値の定理を利用する。(4)は逆関数の積分（置換積分）という典型的な流れである。

解法1

(1)

与えられた等式

$$\int_0^x \{f(t)\}^2 dt + \int_0^x \cos(f(t)) dt = \frac{1}{2}x^2 + ax + b$$

は $x > 0$ で成り立つ。両辺は $x$ について連続であるため、$x \to +0$ の極限をとる。左辺の積分は $0$ に収束し、右辺は $b$ に収束するため、

$$0 = b$$

である。

また、与式の両辺を $x$ で微分すると、

$$\{f(x)\}^2 + \cos(f(x)) = x + a$$

となる。$f(x)$ は連続関数であり、$f(0)=0$ であるから、両辺について $x \to +0$ の極限をとると、

$$\begin{aligned} \{f(0)\}^2 + \cos(f(0)) &= 0 + a \\ 0^2 + \cos 0 &= a \\ a &= 1 \end{aligned}$$

となる。

(2)

$$g(t) = t^2 - 1 + \cos t$$

を $t$ で微分すると、

$$g'(t) = 2t - \sin t$$

さらに微分すると、

$$g''(t) = 2 - \cos t$$

となる。すべての実数 $t$ について $-1 \leqq \cos t \leqq 1$ であるから、

$$g''(t) \geqq 1 > 0$$

である。したがって、$g'(t)$ は単調増加する。

$g'(0) = 0$ であるため、$t > 0$ において $g'(t) > 0$ となる。 よって、$g(t)$ は区間 $t \geqq 0$ で単調に増加する。

(3)

(2)より、$g(y) = y^2 - 1 + \cos y$ は $y \geqq 0$ において単調増加する連続関数である。

$$g(0) = 0^2 - 1 + 1 = 0$$

であり、

$$\lim_{y \to \infty} g(y) = \lim_{y \to \infty} y^2 \left( 1 - \frac{1}{y^2} + \frac{\cos y}{y^2} \right) = \infty$$

である。 したがって、$g(y)$ が連続関数であることと中間値の定理より、任意の正の実数 $x$ に対して $g(y) = x$ をみたす正の実数 $y$ がただ1つ存在する。

また、$x = 4\pi^2$ のとき、

$$y^2 - 1 + \cos y = 4\pi^2$$

をみたす。$y = 2\pi$ を代入すると、

$$(2\pi)^2 - 1 + \cos(2\pi) = 4\pi^2 - 1 + 1 = 4\pi^2$$

となり等式を満たす。条件をみたす正の実数 $y$ はただ1つ存在するので、求める値は $y = 2\pi$ である。

(4)

(1)の微分の結果より、$x > 0$ において

$$\{f(x)\}^2 - 1 + \cos(f(x)) = x$$

すなわち

$$g(f(x)) = x$$

が成り立つ。 (3)より、任意の正の実数 $x$ に対して $g(y) = x$ となる正の実数 $y$ がただ1つ存在するので、$f(x) > 0$ であり、$y = f(x)$ は $x = g(y)$ の逆関数である。

求める定積分 $\int_0^{4\pi^2} f(x) dx$ において、$x = g(y)$ と置換積分を行う。

$$dx = g'(y) dy = (2y - \sin y) dy$$

$x$ と $y$ の対応は以下のようになる。 $x = 0$ のとき $y = 0$（$f(0)=0$ より） $x = 4\pi^2$ のとき $y = 2\pi$（(3)の結果より）

したがって、

$$\begin{aligned} \int_0^{4\pi^2} f(x) dx &= \int_0^{2\pi} y (2y - \sin y) dy \\ &= \int_0^{2\pi} (2y^2 - y \sin y) dy \\ &= \left[ \frac{2}{3}y^3 \right]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} y \sin y dy \end{aligned}$$

後半の積分に部分積分を用いると、

$$\begin{aligned} \int_0^{2\pi} y \sin y dy &= \left[ y(-\cos y) \right]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} 1 \cdot (-\cos y) dy \\ &= -2\pi \cos(2\pi) + \left[ \sin y \right]_0^{2\pi} \\ &= -2\pi \end{aligned}$$

となる。

よって、求める定積分の値は

$$\begin{aligned} \int_0^{4\pi^2} f(x) dx &= \frac{2}{3}(2\pi)^3 - (-2\pi) \\ &= \frac{16\pi^3}{3} + 2\pi \end{aligned}$$

である。

解説

本問は、微分積分学の基本定理と逆関数の積分（置換積分）を組み合わせた頻出の標準問題である。(1)で等式の両辺を微分して関数関係を導き、(2)、(3)でその関数が単調増加であることを示して逆関数の存在を保証する。(4)では、$y = f(x)$ の積分を $x = g(y)$ への置換積分によって計算する。逆関数の定積分は、そのまま積分することが難しいため、このように独立変数を切り替えて計算する手法を確実に習得しておきたい。

答え

(1) $a = 1, b = 0$

(2) 解法1に示した通り。

(3) （証明は解法1に示した通り）$y = 2\pi$

(4) $\frac{16\pi^3}{3} + 2\pi$