数学3 定積分・面積 問題 203 解説

方針・初手

対数関数 $\log x$ を含む不定積分であるため、部分積分法を用いる。その際、$x^m$ を積分し、$\log x$ を微分する方針をとる。 ただし、$x^m$ の不定積分は $m = -1$ のときと $m \neq -1$ のときで結果が異なるため、整数 $m$ の値による場合分けが必要であることに注意する。

解法1

(i) $m \neq -1$ のとき

部分積分法を用いる。

$$\begin{aligned} I &= \int x^m \log x dx \\ &= \int \left( \frac{x^{m+1}}{m+1} \right)' \log x dx \\ &= \frac{x^{m+1}}{m+1} \log x - \int \frac{x^{m+1}}{m+1} \cdot (\log x)' dx \\ &= \frac{x^{m+1}}{m+1} \log x - \int \frac{x^{m+1}}{m+1} \cdot \frac{1}{x} dx \\ &= \frac{x^{m+1}}{m+1} \log x - \frac{1}{m+1} \int x^m dx \\ &= \frac{x^{m+1}}{m+1} \log x - \frac{x^{m+1}}{(m+1)^2} \end{aligned}$$

(ii) $m = -1$ のとき

$$I = \int x^{-1} \log x dx = \int \frac{\log x}{x} dx$$

ここで、$ (\log x)' = \frac{1}{x} $ であることに着目すると、次のように計算できる。

$$\begin{aligned} I &= \int \log x \cdot (\log x)' dx \\ &= \frac{1}{2} (\log x)^2 \end{aligned}$$

解説

$x^n$ の積分 $\int x^n dx$ は、基本的には $\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$ であるが、$n = -1$ のときのみ $\log |x| + C$ となる。本問のように指数部分に文字が含まれる関数の積分では、積分して対数関数が現れるケース（指数が $-1$ になるケース）を見落とさずに場合分けすることが非常に重要である。 本問では、被積分関数に $\log x$ が含まれているため、真数条件より暗黙的に $x > 0$ が前提となっている。したがって、$m=-1$ のときの部分積分や置換において $\log |x|$ と絶対値をつける必要はない。

答え

$m \neq -1$ のとき: $\frac{x^{m+1}}{m+1} \log x - \frac{x^{m+1}}{(m+1)^2}$

$m = -1$ のとき: $\frac{1}{2} (\log x)^2$