数学3 定積分・面積 問題 204 解説

方針・初手

(1) は不等式の証明である。与えられた不等式を2つの部分に分け、それぞれについて差をとって新しい関数を定義し、微分を用いて増減を調べることで最小値が $0$ 以上であることを示す。

(2) は和の極限を求める問題である。与えられた $S_n$ の式について、対数の性質を用いて和の形 $\sum$ にまとめる。その際、真数部分に $1+x$ の形を作り出し、(1) で示した不等式を適用して評価する。極限ははさみうちの原理と区分求積法を利用して求める。

解法1

(1)

$f(x) = \log(1+x) - \left(x - \frac{x^2}{2}\right)$ とおく。$x \geqq 0$ において $f(x)$ を微分すると、

$$f'(x) = \frac{1}{1+x} - (1 - x) = \frac{1 - (1-x)(1+x)}{1+x} = \frac{1 - (1-x^2)}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$$

$x \geqq 0$ において $f'(x) \geqq 0$ であるから、$f(x)$ は単調に増加する。 また、$f(0) = \log 1 - 0 = 0$ であるため、$x \geqq 0$ において $f(x) \geqq 0$ が成り立つ。 ゆえに、

$$x - \frac{x^2}{2} \leqq \log(1+x)$$

が成り立つ。

次に、$g(x) = x - \log(1+x)$ とおく。$x \geqq 0$ において $g(x)$ を微分すると、

$$g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{1+x-1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$$

$x \geqq 0$ において $g'(x) \geqq 0$ であるから、$g(x)$ は単調に増加する。 また、$g(0) = 0 - \log 1 = 0$ であるため、$x \geqq 0$ において $g(x) \geqq 0$ が成り立つ。 ゆえに、

$$\log(1+x) \leqq x$$

が成り立つ。 以上より、$x \geqq 0$ のとき $x - \frac{x^2}{2} \leqq \log(1+x) \leqq x$ が成り立つことが示された。

(2)

与えられた $S_n$ をシグマ記号を用いて書き換えると、

$$S_n = \sum_{k=1}^n \log(n\sqrt{n} + \sqrt{k}) - n\log(n\sqrt{n})$$

対数の性質により、後ろの項をシグマの中に入れると、

$$S_n = \sum_{k=1}^n \left\{ \log(n\sqrt{n} + \sqrt{k}) - \log(n\sqrt{n}) \right\}$$

$$S_n = \sum_{k=1}^n \log \left( \frac{n\sqrt{n} + \sqrt{k}}{n\sqrt{n}} \right)$$

$$S_n = \sum_{k=1}^n \log \left( 1 + \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} \right)$$

となる。ここで、$n, k$ は自然数であり、$1 \leqq k \leqq n$ であるから $\frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} > 0$ である。 したがって、(1) で証明した不等式において、$x = \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}}$ とすると、

$$\frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} - \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}}\right)^2 \leqq \log\left(1 + \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}}\right) \leqq \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}}$$

$$\frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} - \frac{k}{2n^3} \leqq \log\left(1 + \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}}\right) \leqq \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}}$$

が成り立つ。これについて $k=1$ から $k=n$ までの和をとると、

$$\sum_{k=1}^n \left( \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} - \frac{k}{2n^3} \right) \leqq S_n \leqq \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}}$$

$$\sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} - \sum_{k=1}^n \frac{k}{2n^3} \leqq S_n \leqq \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}}$$

ここで、上辺および下辺の第1項の極限は、区分求積法を用いて計算できる。

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{k}{n}} = \int_0^1 \sqrt{x} dx = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_0^1 = \frac{2}{3}$$

一方、下辺の第2項については、

$$\sum_{k=1}^n \frac{k}{2n^3} = \frac{1}{2n^3} \cdot \frac{1}{2}n(n+1) = \frac{n(n+1)}{4n^3} = \frac{1+\frac{1}{n}}{4n}$$

となるため、

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{2n^3} = 0$$

である。ゆえに、

$$\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} - \sum_{k=1}^n \frac{k}{2n^3} \right) = \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3}$$

となる。以上から、はさみうちの原理により、

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{2}{3}$$

となる。

解説

前問で示した不等式を利用して、複雑な和の極限をはさみうちの原理に持ち込む、極限の頻出テーマである。 (2) において、和の形である $S_n$ からどのようにして (1) で評価可能な $\log(1+x)$ の形を作り出すかがポイントとなる。対数の差を真数の商に変形することで、自然と $\log(1+x)$ の形が現れる。 その後、和の極限を計算する際に区分求積法を用いることと、誤差項となる部分が極限をとると $0$ に収束することを丁寧に記述する必要がある。

答え

(1) （証明は解法1に記載）

(2) $\frac{2}{3}$