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数学3 定積分・面積問題 205 解説

方針・初手

(1) は、円の転がりに伴う定点の軌跡（エピサイクロイド）をベクトルを用いて求める。接点に着目し、動円の自転角と公転角の関係を捉えることがポイントである。 (2) は、導関数を計算し、三角方程式を解いて増減表を作成する。 (3) は、媒介変数表示された曲線の面積を求める。(2) の増減表をもとに積分区間を正しく設定し、対称性を利用して計算量を減らす。

解法1

(1) 円 $C_0$ の中心を原点 O とし、円 $C_1$ の中心を A、両円の接点を T とする。動径 OA が $x$ 軸の正の部分から角 $\theta$ だけ回転したとき、$\mathrm{OA} = 1 + 1 = 2$ であるから、点 A の座標は $(2\cos\theta, 2\sin\theta)$ である。このとき、接点 T は線分 OA の中点であるから、T の座標は $(\cos\theta, \sin\theta)$ である。ベクトル $\vec{AT}$ を成分で表すと、

$$\vec{AT} = \vec{OT} - \vec{OA} = (\cos\theta - 2\cos\theta, \sin\theta - 2\sin\theta) = (-\cos\theta, -\sin\theta)$$

となる。したがって、$\vec{AT}$ の $x$ 軸正の向きからの偏角は $\theta + \pi$ である。

円 $C_1$ がすべることなく転がるとき、円 $C_0$ 上で接点 T が描く弧の長さと、円 $C_1$ 上で接点から点 P が離れた弧の長さは等しい。円 $C_0$ の半径は $1$ であり、接点 T は $(1,0)$ から中心角 $\theta$ だけ進んでいるため、その弧の長さは $\theta$ である。円 $C_1$ の半径も $1$ であるから、円 $C_1$ における弧 PT の長さも $\theta$ であり、円 $C_1$ の中心 A に対する中心角も $\theta$ となる。

円 $C_1$ は反時計回りに転がるため、円 $C_1$ の中心から見ると、点 P は接点 T から反時計回りに角 $\theta$ だけ回転した位置にある。よって、ベクトル $\vec{AP}$ はベクトル $\vec{AT}$ を原点の周りに反時計回りに $\theta$ だけ回転させたベクトルと平行移動で一致するため、$\vec{AP}$ の偏角は $(\theta + \pi) + \theta = 2\theta + \pi$ となる。線分 AP の長さは $1$ であるから、

$$\vec{AP} = (\cos(2\theta + \pi), \sin(2\theta + \pi)) = (-\cos 2\theta, -\sin 2\theta)$$

となる。これより、点 P の位置ベクトル $\vec{OP}$ は、

$$\begin{aligned} \vec{OP} &= \vec{OA} + \vec{AP} \\ &= (2\cos\theta - \cos 2\theta, 2\sin\theta - \sin 2\theta) \end{aligned}$$

となる。したがって、点 P の座標について、

$$x(\theta) = 2\cos\theta - \cos 2\theta$$

$$y(\theta) = 2\sin\theta - \sin 2\theta$$

が成り立つ。

(2) $x(\theta)$ を $\theta$ で微分すると、

$$\begin{aligned} \frac{d}{d\theta}x(\theta) &= -2\sin\theta + 2\sin 2\theta \\ &= 2(\sin 2\theta - \sin\theta) \\ &= 2(2\sin\theta\cos\theta - \sin\theta) \\ &= 2\sin\theta(2\cos\theta - 1) \end{aligned}$$

となる。 $0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ において $\frac{d}{d\theta}x(\theta) = 0$ となる $\theta$ の値を求める。 $\sin\theta = 0$ より、$\theta = 0, \pi, 2\pi$ である。 $2\cos\theta - 1 = 0$ すなわち $\cos\theta = \frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ である。これらを用いて $x(\theta)$ の増減表を作成すると、以下のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccccccc} \theta & 0 & \cdots & \frac{\pi}{3} & \cdots & \pi & \cdots & \frac{5\pi}{3} & \cdots & 2\pi \\ \hline \frac{d}{d\theta}x(\theta) & 0 & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - & 0 \\ \hline x(\theta) & 1 & \nearrow & \frac{3}{2} & \searrow & -3 & \nearrow & \frac{3}{2} & \searrow & 1 \end{array}$$

なお、増減表に現れる極値は以下のように計算される。

$$x(0) = 2\cos 0 - \cos 0 = 2 - 1 = 1$$

$$x\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\cos\frac{\pi}{3} - \cos\frac{2\pi}{3} = 2\left(\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}$$

$$x(\pi) = 2\cos\pi - \cos 2\pi = 2(-1) - 1 = -3$$

$$x\left(\frac{5\pi}{3}\right) = 2\cos\frac{5\pi}{3} - \cos\frac{10\pi}{3} = 2\left(\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}$$

$$x(2\pi) = 2\cos 2\pi - \cos 4\pi = 2(1) - 1 = 1$$

(3) $y(\theta) = 2\sin\theta - \sin 2\theta = 2\sin\theta(1 - \cos\theta)$ である。 $0 \leqq \theta \leqq \pi$ において、$\sin\theta \geqq 0$ かつ $1 - \cos\theta \geqq 0$ であるから、$y(\theta) \geqq 0$ となる。また、$x(2\pi - \theta) = x(\theta)$ および $y(2\pi - \theta) = -y(\theta)$ が成り立つため、曲線 $C$ は $x$ 軸に関して対称である。したがって、曲線 $C$ で囲まれる図形の面積 $S$ は、$0 \leqq \theta \leqq \pi$ に対応する上半分の面積を求めて $2$ 倍すればよい。

(2) の増減表より、$\theta$ が $0$ から $\frac{\pi}{3}$ まで変化するとき、$x$ は $1$ から $\frac{3}{2}$ まで単調に増加し、$\theta$ が $\frac{\pi}{3}$ から $\pi$ まで変化するとき、$x$ は $\frac{3}{2}$ から $-3$ まで単調に減少する。上側の曲線を $y_2$（$\frac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \pi$ に対応）、下側の曲線を $y_1$（$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}$ に対応）とすると、上半分の面積 $\frac{S}{2}$ は、

$$\frac{S}{2} = \int_{-3}^{\frac{3}{2}} y_2 \, dx - \int_{1}^{\frac{3}{2}} y_1 \, dx$$

と表される。これを $\theta$ による置換積分で書き換えると、$dx = \frac{d}{d\theta}x(\theta) \, d\theta$ であり、

$$\begin{aligned} \frac{S}{2} &= \int_{\pi}^{\frac{\pi}{3}} y(\theta) \frac{d}{d\theta}x(\theta) \, d\theta - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} y(\theta) \frac{d}{d\theta}x(\theta) \, d\theta \\ &= \int_{\pi}^{\frac{\pi}{3}} y(\theta) \frac{d}{d\theta}x(\theta) \, d\theta + \int_{\frac{\pi}{3}}^{0} y(\theta) \frac{d}{d\theta}x(\theta) \, d\theta \\ &= \int_{\pi}^{0} y(\theta) \frac{d}{d\theta}x(\theta) \, d\theta \\ &= -\int_{0}^{\pi} y(\theta) \frac{d}{d\theta}x(\theta) \, d\theta \end{aligned}$$

となる。被積分関数 $y(\theta) \frac{d}{d\theta}x(\theta)$ を計算する。

$$\begin{aligned} y(\theta) \frac{d}{d\theta}x(\theta) &= (2\sin\theta - \sin 2\theta)(-2\sin\theta + 2\sin 2\theta) \\ &= -4\sin^2\theta + 6\sin\theta\sin 2\theta - 2\sin^2 2\theta \end{aligned}$$

半角の公式および積和の公式を用いて次数を下げる。

$$-4\sin^2\theta = -4 \left( \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \right) = -2 + 2\cos 2\theta$$

$$6\sin\theta\sin 2\theta = 6 \left( \frac{\cos(-\theta) - \cos 3\theta}{2} \right) = 3\cos\theta - 3\cos 3\theta$$

$$-2\sin^2 2\theta = -2 \left( \frac{1 - \cos 4\theta}{2} \right) = -1 + \cos 4\theta$$

これらを足し合わせると、

$$y(\theta) \frac{d}{d\theta}x(\theta) = -3 + 3\cos\theta + 2\cos 2\theta - 3\cos 3\theta + \cos 4\theta$$

となる。したがって、面積 $\frac{S}{2}$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \frac{S}{2} &= -\int_{0}^{\pi} (-3 + 3\cos\theta + 2\cos 2\theta - 3\cos 3\theta + \cos 4\theta) \, d\theta \\ &= -\left[ -3\theta + 3\sin\theta + \sin 2\theta - \sin 3\theta + \frac{1}{4}\sin 4\theta \right]_{0}^{\pi} \\ &= -(-3\pi) \\ &= 3\pi \end{aligned}$$

よって、求める面積 $S$ は、

$$S = 2 \times 3\pi = 6\pi$$

となる。

解説

本問で登場する曲線は、定円に外接して転がる円上の定点が描く「エピサイクロイド」であり、特に両円の半径が等しい場合は「カージオイド（心臓形）」と呼ばれる。 (1) において、図形的な条件をベクトルに翻訳して座標を求める手法は、サイクロイド系の問題を解くための定石である。すべらない条件を「弧の長さが等しい」と言い換え、それを偏角の加減算につなげることが重要である。 (3) の面積計算では、媒介変数表示された曲線の積分において、増減表に基づいて正しい積分区間と符号を設定できるかが問われる。対称性を利用することで計算ミスを防ぐことができる。また、三角関数の積分においては、半角の公式や積和の公式を用いて1次式に変形する処理が不可欠である。