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数学3 定積分・面積問題 206 解説

方針・初手

(1)は三角関数の合成を用いて不等式を解き、絶対値を外すための符号の境界を調べる。 (2)は多項式と三角関数の積の積分であるから、部分積分法を用いる。 (3)は(1)の符号の変化をもとに積分区間を分割し、(2)で求めた不定積分を利用して定積分を計算する。 (4)は定積分を定数と置く、積分方程式の典型的な解法を用いる。

解法1

(1)

$f(x) > 0$ より、

$$\cos x + \sin x - 1 > 0$$

三角関数の合成を用いると、

$$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) > 1$$

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$0 \leqq x \leqq 2\pi$ より $\frac{\pi}{4} \leqq x + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{9\pi}{4}$ であるから、この範囲で不等式を解くと、

$$\frac{\pi}{4} < x + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$$

よって、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ となる。

(2)

部分積分法を用いて不定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int x f(x) dx &= \int x (\cos x + \sin x - 1) dx \\ &= \int x (\sin x - \cos x - x)' dx \\ &= x(\sin x - \cos x - x) - \int 1 \cdot (\sin x - \cos x - x) dx \\ &= x(\sin x - \cos x) - x^2 - (-\cos x - \sin x - \frac{1}{2}x^2) + C \\ &= x(\sin x - \cos x) + \sin x + \cos x - \frac{1}{2}x^2 + C \quad (C\text{は積分定数}) \end{aligned}$$

(3)

(1)の結果から、$0 \leqq x \leqq 2\pi$ における $f(x)$ の符号は以下のようになる。 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$f(x) > 0$ $x = 0, \frac{\pi}{2}$ のとき、$f(x) = 0$ $\frac{\pi}{2} < x \leqq 2\pi$ のとき、$f(x) < 0$

(2)で求めた原始関数の一つを $F(x) = x(\sin x - \cos x) + \sin x + \cos x - \frac{1}{2}x^2$ とおく。

定積分 $\int_0^{2\pi} t|f(t)| dt$ を区間を分けて計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^{2\pi} t|f(t)| dt &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} t f(t) dt + \int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} t \{-f(t)\} dt \\ &= \left[ F(t) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \left[ F(t) \right]_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} \\ &= 2F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) - F(2\pi) \end{aligned}$$

それぞれの値を計算する。

$$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}(1 - 0) + 1 + 0 - \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{2} + 1 - \frac{\pi^2}{8}$$

$$F(0) = 0(0 - 1) + 0 + 1 - 0 = 1$$

$$F(2\pi) = 2\pi(0 - 1) + 0 + 1 - \frac{1}{2}(2\pi)^2 = -2\pi + 1 - 2\pi^2$$

これらを代入して、

$$\begin{aligned} \int_0^{2\pi} t|f(t)| dt &= 2\left(\frac{\pi}{2} + 1 - \frac{\pi^2}{8}\right) - 1 - (-2\pi + 1 - 2\pi^2) \\ &= \left(\pi + 2 - \frac{\pi^2}{4}\right) - 1 + 2\pi - 1 + 2\pi^2 \\ &= 3\pi + \frac{7}{4}\pi^2 \end{aligned}$$

(4)

定積分 $\int_0^{2\pi} tg(t) dt$ は定数であるから、これを $A$ とおく。

$$A = \int_0^{2\pi} tg(t) dt$$

すると、$g(x)$ は次のように表される。

$$g(x) = |f(x)| - \frac{1}{4\pi^2}(A - 3\pi)$$

この式の両辺に $x$ をかけて、$0$ から $2\pi$ まで定積分する。

$$\int_0^{2\pi} xg(x) dx = \int_0^{2\pi} x|f(x)| dx - \int_0^{2\pi} \frac{1}{4\pi^2}(A - 3\pi)x dx$$

左辺は $A$ であり、右辺第1項は(3)の結果より $3\pi + \frac{7}{4}\pi^2$ であるから、

$$\begin{aligned} A &= 3\pi + \frac{7}{4}\pi^2 - \frac{A - 3\pi}{4\pi^2} \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^{2\pi} \\ &= 3\pi + \frac{7}{4}\pi^2 - \frac{A - 3\pi}{4\pi^2} \cdot 2\pi^2 \\ &= 3\pi + \frac{7}{4}\pi^2 - \frac{1}{2}(A - 3\pi) \end{aligned}$$

この方程式を $A$ について解く。

$$A = 3\pi + \frac{7}{4}\pi^2 - \frac{1}{2}A + \frac{3}{2}\pi$$

$$\frac{3}{2}A = \frac{9}{2}\pi + \frac{7}{4}\pi^2$$

$$A = 3\pi + \frac{7}{6}\pi^2$$

これを $g(x)$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} g(x) &= |f(x)| - \frac{1}{4\pi^2}\left(3\pi + \frac{7}{6}\pi^2 - 3\pi\right) \\ &= |f(x)| - \frac{1}{4\pi^2} \cdot \frac{7}{6}\pi^2 \\ &= |\cos x + \sin x - 1| - \frac{7}{24} \end{aligned}$$

解説

微積分と方程式が融合した標準的な問題である。 (1)における符号の判別が、(3)で絶対値を外すための積分区間の分割に直結している。絶対値を含む定積分は、中身の符号が変わる境界で区間を分けるのが鉄則である。 (4)の「積分区間の両端が定数である定積分は、定数とおく」という手法は、積分方程式における最も重要な定石であるため、確実に押さえておきたい。計算量がやや多いため、(2)の不定積分の結果を利用して計算ミスを防ぐ工夫が求められる。